Exercices corriges en electricite

Exercices corriges en electricite

…

2 Théorème de Thévenin (3 pts)

1 kΩ       B On a calculé le modèle équivalent de Thévenin du dipôle A-B ci contre.

j0

En choisissant la convention      (              ) e(t) 1 0. cos 2000 .t=    π ↔ =E 1 0.e , on a trouvé

ETH 8,467.e −=                 et           j0,561

j0,561 Z eq 846,7.e − = e(t) =1 0. cos(2000ð.t)    permis d’obtenir ETH . Le devoir se déroulant sans calculette, il est simplement

1. a) Reconstituer le calcul (expression littérale puis expression numérique) qui a demandé de poser le calcul numérique sans l’effectuer.
2. b) Reconstituer le calcul (expression littérale puis expression numérique) qui a permis d’obtenir Zeq . Le devoir se déroulant sans calculette, il est simplement demandé de poser le calcul numérique sans l’effectuer. Corrigé :
3. a) La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle AB « à vide ». On peut donc l’obtenir avec la formule du pont diviseur de tension :

jCù         E             10           10

ETH = E.               =             =             =             = 8,467 .e

1             + R 1+ jRCù 1     3. 1 0− 7.2000.ð 1 + j.0,2 .ð

jCù

1. b) Zeq est l’impédance vue entre les bornes du dipôle AB lorsque la source de tension indépendante               est e(t) remplacée par son impédance interne (un court-circuit) :

…

Formule littérale de ETH

Formule littérale de Zeq

Identification de = rad / s , de R =1000

 et de C

ω

2000.ð

Ω

= 10−7 F

3 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)

L’objectif est de calculer              . Les valeurs ont été choisies de façon que

v(t)

les calculs numériques puissent être faits sans calculette.

1. a) Illustrer par des schémas la démarche du théorème de superposition appliquée au réseau électrique ci-contre.
2. b) Soient : e(t)=1 00. cos(ω.t) et              ⎠⎟

( ) 1 . cos .           ð ⎞

i t =        ⎛            + 2

⎜⎝ ω t

Pour associer un complexe à une fonction alternative sinusoïdale, on prendra comme convention :

e(t) 1 00. cos ( .t )            E 1 00.e 100

=             ω ↔ = j0 = .

Sachant qu’à la pulsation considérée, R = L.ù =100 Ω , calculer V, et en déduire v(t) . Corrigé :

…

 4 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts) Variante

L’objectif est de calculer              . Les valeurs ont été choisies de façon que

v(t)

les calculs numériques puissent être faits sans calculette.

1. a)            Illustrer par des schémas la démarche du théorème de superposition appliquée au réseau électrique ci-contre. ð ⎞
2. b)           Soient : ⎠⎟

⎛ − e(t) 1 00. cos .t=      ⎜⎝ ω    et i(t) = 1 . cos ( ω .t)2

Pour associer un complexe à une fonction alternative sinusoïdale, on prendra comme convention : i(t) =1 . cos(ω.t) ↔ I =1=1 . ej0 .

Sachant qu’à la pulsation considérée, R = L.ù =100 Ω , calculer V, et en déduire v(t) . Corrigé :

E jL

. ù ⎛R jL

. ù ⎞

                V V V                    = + =      +              . I

1             2             ⎜            ⎟

R jL

+ ω ⎝ R jL

+ ω ⎠

E jR

.              ⎛ R jR

. ⎞          jE            ⎛  jR      ⎞=      V             + ⎜         ⎟ . I =   + ⎜       ⎟ .

R jR

+             ⎝ R jR

+ ⎠        1 + j ⎝ 1 + j ⎠

V = j . 1 00.e− j 2 +⎛j1 00⎞1 =  100 +⎛j1 00

                100 ⎜     ⎟ =        .

1 j

+             ⎝ 1 j

+ ⎠        1 j

+             ⎝ 1 j

+ ⎠ 1 j

5 Réseau électrique en régime alternatif sinusoïdal. Choix de méthode (4 pts)

Sachant qu’à la pulsation considérée, R = L.ù = 5 Ω, calculer V, et en déduire v (t).

La méthode n'est pas imposée: on pourra utiliser le théorème de superposition, les transformations Thévenin

Norton ...Les valeurs numériques sont choisies pour que les calculs soient simples (sans calculette)

Corrigé :

π

− j

I=2.ej0 =2, E 1 0.e 2

=             =−1 0j, R =5, jL.ù=5j

Ø            Méthode du théorème de superposition :

Ø            Méthode de Norton / Thévenin :

Ø            On peut utiliser d’autres méthodes...

6 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)

3.1 A l’aide de deux schémas et d’un court commentaire, décrire la méthode du théorème de superposition appliquée au montage ci-contre pour calculer v (t).

3.2 Sachant que i(t) = I$.cos(ω. t) et e(t) = E. ˆ cos(ω.t), calculer V, et en déduire v (t). On prendra comme convention E = E

On considèrera par hypothèse que E = R.I .

Corrigé :

Sachant que E$ = R.I $ et que    et

i ( t ) = I $.cos ( ω . t )      e(t)= E$.cos(ω.t), on en déduit E= Eˆ.ej0 = R.Iˆ.ej0 = R.I

Sachant que R = L.ù et E = R.I :

⎛jLù      R             ⎞           ⎛jL R

ω + ⎞

V = ⎜    +             ⎟ . E = ⎜               ⎟ . E E

=             Donc v(t) = Eˆ . cos(ω.t)

⎝ R jL

+ ω R jL

                + ω ⎠    ⎝ R jL

+ ω ⎠

Autre méthode :

Modèle équivalent de Norton

Modèle équivalent de Thévenin

…

Sachant que E = R.I ,

La tension aux bornes du dipôle R + jL.ù est nulle (loi des mailles), donc le courant dans la maille est nul, donc V = E − 0. jL.ù = E

7 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (5 pts)

Sachant que R=100Ω et                = 50Ω , calculer, pour le schéma ci

C.ù

v             contre, l’expression de v (t) sous la forme v(t) = Vˆ. cos(ω.t + ϕ) .

(Sachant que le devoir se déroule sans calculette, on peut garder des résultats avec des expressions en           ).

e(t) = 4. cos(ω.t) et i(t) = 0,04. sin(ω.t + π) ... Attention aux sinus et cosinus !

Corrigé :

On applique le théorème de superposition :

Sachant que e(t) = 4. cos(ω.t), on pose j0

E = 4.e

π⎛         π             j⎞

et sachant que (              )

i(t) 0,04. sin .t

=             ω π

+             = 0,04. cos .t

⎜⎝ ω + ⎠⎟ , on pose    2

I 0,04.e =

⎛ Impédances en parallèle : V1 =⎜R //  1⎞I =   .I =         .I =         R             I

2 jCù⎠R+  1        jRCù + 2               jRCù + 2

ExercicElecPro

Autre méthode :

R 1          R

9 Régime alternatif sinusoïdal. Dipôle équivalent (3 pts)

On pourra utiliser les vecteurs de Fresnel ou les complexes. Pour les complexes, on prendra la convention : e1 (t)=1 0. cos(ω.t) ↔ E1 =1 0.ej. 0

Calculer la tension équivalente de Thévenin eTH (t) et le courant de court-circuit icc (t) du dipôle AB (avec icc (t) orienté de A vers B dans le court-circuit).

Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra conserver des expressions telles que 2 ou 3

La tension équivalente de Thévenin est la tension aux born

es du dipôle à vide, donc :

 (t) + e2 (t)

 ETH = E

 + E2 =1 0. 2 .e

 (cf diagramme de Bode ci-contre) ⇔ eTH (t) 1 0. 2 . cos .t

=             ⎜⎝ ω    4

t de court-circuit :

10 Théorème de superposition en continu+alternatif sinusoïdal. (5 pts)

Dans le but de déterminer la tension u(t) du schéma ci-contre, réaliser les opérations suivantes :

v(t) a) Représenter les deux schémas relatifs au théorème de superposition.

1. b) Déterminer la composante U1 de u(t) créée par la tension continue de 15 V.
2. c)            Déterminer la composante u2(t) de u(t) créée par la tension alternative sinusoïdale v(t) = 10.cos(10000.t). (Les valeurs ont été choisies de façon que le calcul puisse se faire à la main) (On admet dans le résultat des

expressions telles que 2 ou 3 ).

1. d)           En utilisant le théorème de superposition, déterminer et représenter u(t). (Ne pas oublier de graduer les axes).

Corrigé :

1. b) En courant continu, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

1 5 . 1 0

On peut utiliser la formule du pont diviseur de tension :             7,5 V

U 1 =     =10 10

3             3

1. c) En courant alternatif sinusoïdal, on peut utiliser les nombres complexes :

j0            1             − j           − j

v(t) 1 0. cos(10000.t)      V 1 0.e

=             ⇔ =       et           =             =             = −1 03. j

jCù Cù 10−7.1 04

500         -1000.j

En utilisant la formule du pont diviseur de tension :

 V . 500 500        

                (              )              1 0.e      .1 0

j0 3

+             1 0.e j0 1 0.e

' 2 =        =             =             =             = 5 2 .e (500 500 1000.j

                +             ) −          103 −1 03.j 1− j  −j ð

En utilisant à nouveau la formule du pont diviseur de tension :

U' . 500 j

2  U' 2 5 5 ⎛         π

U =         =             =             .e 4

2             ⇔ u (t)

2 =          cos 10000 .t +

500 500

+             2             2             2             4

11 Théorème de superposition et alternatif sinusoïdal 2 sources (7 pts)

 e(t) = 20. cos(ω.t)

1. a) Sachant que R =100 Ω et Lù =50 Ω , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de v1 (t) .

On prendra pour convention :  ( )

e(t) = 20. cos ù.t ⇔ E = 20.e , (1)

j0

i(t)= 0,2. sin(ω.t)

v2 b) Sachant que R =100 Ω et Lù =50 Ω , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de v2 (t) .

e(t) = 20. cos(ω.t) i(t) = 0,2. sin(ω.t)

v c) Sachant que R =100 Ω et Lù =50 Ω , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de v (t). (On s’aidera des résultats des deux questions précédentes).

⎛cos ⎜4⎞= sin⎜41=

12 Réseau en DC + alternatif sinusoïdal. Superposition 3 sources (12 pts) Les questions a), b) et c) sont indépendantes.

I1o         a) Dans le montage ci-contre, V1o est une source de tension continue, et I2o est une source de courant continu.

I2o         Exprimer V2o et I1o en fonction de R, V1o et I2o.

1. b) Exprimer la relation générale entre la tension vL(t) aux bornes d’une inductance et le courant iL(t) qui la traverse lorsqu’ils sont orientés en convention récepteur.

Exprimer la relation générale entre la tension vC(t) aux bornes d’un condensateur et le courant iC(t) qui le traverse lorsqu’ils sont orientés en convention récepteur.

vLo

Dans le montage ci-contre, V1o est une source de tension continue, et I2o est une source de courant continu.

En régime permanent (suffisamment longtemps après la mise sous tension du montage), toutes les tensions et tous les courants sont continus. En déduire les valeurs de vLo et iCo en régime permanent.

En déduire V’2o et I’1o en fonction des éléments du montage, en régime permanent.

1. c) Dans le montage ci-contre, v11 est une tension alternative sinusoïdale : v11(t) = Vˆ1. cos(w.t)

c1) Exprimer les complexes I1 1 et V21 en fonction de V11, R, L, C et w .

 c2) On suppose que R « Lw et LCw2 » 1. Simplifier les expressions de I1 1 et V21 en conséquence puis en déduire les expressions approchées de i1 1(t) et v21(t).

1. d) Exprimer le théorème de superposition puis l’illustrer par des schémas dans le cas du montage ci-contre.

V1o est une tension continue, et I2o est un courant continu.

v11 est une tension alternative sinusoïdale : v11 (t) = Vˆ1. cos(w.t)

On suppose que R « Lw et LCw2 » 1.

En utilisant les résultats des questions b) et c), exprimer i1 (t) et v2 (t) en fonction de V1o, I2o., R, L, C, V1 et w en régime permanent.

Corrigé :

1. a)            V2o = V1o − R.I2o (loi des mailles) avec I1o = I2o
2. b)           (              )

d i (t)     i (t) C .   C

d v (t)

v (t) L .  L

L =          et           ( )

C= dt     dt

• Si le courant dans l’inductance est « continu » (c'est-à-dire « constant ») : d i (t)

(              ) 0 v (t) 0

L =  Lo =

comporte comme un court-circuit.

• Si la tension aux bornes du condensateur est « continu » (c'est-à-dire « constante ») : d v (t)

(              ) 0 i (t) 0

C =  Co =

comporte comme un circuit ouvert.

 Le montage se comporte alors comme le premier montage (voir a)) : V '2o = V1o − R.I2o et I'1o = I2o

En utilisant la notion de pont diviseur de tension :

jCù

V             Vˆ .ej0  Vˆ − j

11 1        1            ð

Þ             I              2

11 ≈       =             =             .e             i (t) Vˆ 1

11           ≈             . cos .t

⎛ − ⎜⎝ ω

π             π             L ù          2

⎛            1  ⎞

⎜ V.

11           ⎟ .jCù   V             V

⎝            jCù ⎠    11           11

V21=     =             =

                1             jRC j LC

ω            1 jRC LC ù 2

⎛ +        ⎞            ω

+             +             ω −         + 1

⎜ R jLù +             ⎟ . jCù

⎝            jCù ⎠

 V11       V11        V11        V11        V11        Vˆ .e

R jL

+ ω jC . jL

ω + ω    2             ð

ω 2         ù 2 LC .e

ω 2 j

                − LC       j LC

Þ             v (t)                      

21 ≈ .cos LCù 2  (ω π) .t −

 Autre solution :

v (t)

21                           —  Vˆ1  sin⎜ω.t − 2  ⎠⎟ —         Vˆ1

C.∫i11 (t) . dt ≈ C . ∫ Lù . cos⎜ù.t − 2 dt — LCù     ù             —           cos

LCù        (ω π) .t −

1. d) Dans un réseau électrique linéaire, le courant (ou la tension) dans une branche quelconque est égal la somme algébrique des courants (ou des tensions) obtenus dans cette branche sous l’effet de chacune des sources indépendantes prise isolément, toutes les autres sources indépendantes ayant été remplacées par leur impédance interne.

Le montage du §d) est donc la somme des montages des paragraphes b) et c). Donc

Vˆ 1       ⎛ − π ⎞

i (t) I

11 ≈ +

2o           . cos .t

⎜⎝ ω

                ω            2 ⎠⎟

et v21 (t) ≈ V1o − R.I2o +  V1.cos(ω.t −π)

LCù 2

Cet exercice fait référence à l’étude du filtre d’une alimentation à découpage par l’approximation au premier harmonique. Voir PowerElecPro chapitre 1exercice 1 et chapitre 7 exercice 2 sur le site IUTenligne

13 Dipôle linéaire en alternatif sinusoïdal. Mesure de l’impédance interne (6 pts)

On choisit la convention suivante : f (t) = Fm..cos(co.t + çp) H F = Fmax.ejp

Soit un dipôle linéaire « A-B ».

A vide on a mesuré à ses bornes une tension v1 (t) .

En charge avec une impédance « Z », on a mesuré à ses bornes une tension v2 (t) avec un courant i(t) .

(Toutes les mesures ont été effectuées en concordance des temps).

1. a) Déterminer (avec la convention ci-dessus) les expressions complexes V1, V2 et V1 − V2 associées respectivement à v1 (t) v 2 ( t ), et

v1 (t) − v2 (t) 2)

-24         -18         -12         -6 -3 0 3 6            12           18           24

1. b) Déterminer la valeur complexe de l’impédance « Z » mise aux bornes du dipôle A-B lors de l’essai en charge (Sans justification).

c)Déterminer l’expression complexe ETh de la tension équivalente de Thévenin du dipôle A-B. d) Déterminer la valeur de l’impédance équivalente du dipôle linéaire A-B : « Zeq » (On pourra utiliser la formule du pont diviseur de tension ou la loi d’ohm généralisée).

 ⎛cos 4 ⎠⎟ = sin 41=

2. a) (2 pt) V1 =100 2.ej 4 =100 + 100 j

V1 −V2 =100+100j−100=100j=1 00.

j ð

−j ð

1. b) (1 pt)               ( , 2 )

V 2 max               100         −

j I V

Z =          . e           =             . e 3 =    3

1 0.e

I              10

max

1. c) (1 pt) La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle « à vide ». Donc

ETh =V1 =100 2.ej4 =100+100j

…

14 Filtrage d’une ligne de distribution d’énergie électrique

Une source de tension e(t) 1 00. cos 50.2. .        1 00. cos 1 00. .

=             (              t)

π =         (              t)

alimente une charge qui consomme un courant i(t) non sinusoïdal : i(t) =1 0. cos(1 00.ð.t)+ 4. cos(300.ð.t)

La liaison entre la source de tension et la charge se fait au moyen d’une ligne bifilaire (l’inductance de cette ligne est modélisée par L1 sur le schéma ci-contre.)

Pour éviter que le courant          n’engendre des perturbations dans la i(t) source            , on a ajouté un « filtre » constitué de L2 et C1.

e(t)

L’objectif de cet exercice est de déterminer l’expression de la tension               appliquée à la charge en utilisant le v(t) calcul complexe. Beaucoup des questions suivantes sont indépendantes.

A l’aide d’un tableur, on a effectué les calculs suivants (tous ne sont pas utiles pour la suite)

…

1. b) Sachant que i2 (t) =1 0. cos(1 00.r.t), (schéma ci-contre), déterminer la valeur complexe V2 associée à                (indiquer les calculs litéraux puis les v 2 ( t ) résultats numériques complexes).

En déduire l’expression numérique de v2 (t)

4. c) Sachant que i3 (t) = 4. cos(3 00.r.t), (schéma ci-contre), déterminer la valeur complexe V3 associée à                             (indiquer les calculs litéraux puis les v 3 ( t ) résultats numériques complexes).

En déduire l’expression numérique de v3 (t)

1. d) Sachant que e(t) =1 00. cos(100.r.t), i2 (t) =1 0. cos(1 00.r.t) et i3 (t) = 4. cos(3 00.r.t), (schéma ci-contre), déterminer l’expression numérique de v(t) .

 Corrigé :

1. a) e(t) =1 00. cos(50. 2 .r.t) =1 00. cos(1 00.r.t) . a E =100 . Pont diviseur de tension :

L2 .w − C1

V1 1,0431 104 = E =           v t

1 ( ) =1 04. cos(1 00.int)

1. b) Sachant que 2 ( ) 1 0. cos(1 00. . )        2 10

i t =        π t ⇔ I = ,

V = − Zeq2 I (à la fréquence 50 Hz) avec :

2             . 2

− 1

⎡              ⎤

                − 1 ⎢       ⎥

                ⎛ 1 ⎞    ⎢  1⇔Z

⎢

⎝

L1.ù⎛    −             1  ⎞ ⎥

                ⎠            ⎢              ⎜L2.ù    ⎟ ⎥⎢

C1.ù ⎣    ⎝            ⎠ ⎦⎥

 +            1

eq2

− j           ⎛            − π

V = − 4, 9153 .j . I 2 = −   =             2

2             4, 9153 .j . 1 0     49,1 53.e             ⇔ v (t) 49,1 53. cos 1 00. .t

2 =          π

1. c)            Le calcul est identique pour v 3 ( t ) avec I 3 = 4 et           . 0,5

Zeq 3 = j              (à la fréquence 150 Hz).

−             π

On trouve donc V           0,5.j . I

3 = −      = −         =             2             ⎛            −

⇔ v (t) 2. cos 300. .t

3             0,5.j . 4 2.e         3             =             ⎜            π

1. d)           Avec e(t) =1 00. cos(1 00.ð.t), i2 (t) =1 0. cos(1 00.ð.t) et i3 (t) = 4. cos(3 00.ð.t) , on peut appliquer le théorème e(t) représente l’alimentation d’une ligne en énergie électrique.

i1(t) + i3(t) représente le courant consommé par l’étage d’entré d’un convertisseur de puissance.

Le même problème traité par les diagrammes de Bode se trouve dans IUT en ligne/Baselecpro/cours du chapitre 8/exercice 5.

15 Echange d’énergie électrique et filtrage des harmoniques (13pts) A - Ligne inductive

vLo(t)    Une source de tension

3 25. cos(1 00.ir.t)

alimente une charge qui se comporte comme une source de courant :

i1 (t) = 5 . cos(1 00.ir.t) .

La liaison entre la source de tension et la charge se fait au moyen d’une ligne inductive (modélisée par l’inductance Lo sur le schéma ci-contre.)

a1)         Sachant que Lo. 1 00.ir = 5 fl , en déduire vLo (t)

a2)         En s’appuyant sur un diagramme de Fresnel (à main levée), proposer une estimation de v(t) .

B - Charge non sinusoïdale

La charge est maintenant un convertisseur de puissance. Il consomme un courant périodique impulsionnel. On admettra que ce courant peut être reconstitué par une somme de fonctions alternatives sinusoïdales de fréquences multiples de 50 Hz (appelée « série de Fourier »)

i(t) = 5 . cos(1 00.ir.t) + 4. cos(3 00.ir.t) + 2,5 . cos(500.ir.t) + 1. cos(700.ir.t) comme le montre les graphes ci-dessous:

10           5. cos(1 00.ir.t)  t              10           5. cos(1 00.         .t)           4. cos(300.          .t)

ir             +             ir             t

0             20 ms                    0                            

10           5. cos(1 00.ir.t) + 4. cos(3 00.ir.t) + 2,5. cos(500.ir.t)         t              10           5. cos(1 00.ir.t) + 4. cos(3 00x.t)

+ 2,5 . cos(500.ir.t) + 1. cos(700x.t)          t

Ce courant non sinusoïdal est source de perturbations dans la ligne d’alimentation en énergie électrique.

Pour réduire ces perturbations, on équipe le montage d’un « filtre » (L1.C1)

De façon à simplifier l’étude, on négligera le terme 1. cos(700.ir.t) par rapport aux autres termes de la somme.

La somme i(t) = 5 . cos(1 00.ir.t)+ 4. cos(3 00.ir.t)+ 2,5 . cos(500.ir.t) est représentée sur le schéma ci-dessus par trois sources de courant en parallèle.

Les différentes sources ne sont pas de même fréquence (le courant   n’est pas alternatif sinusoïdal). Il n’est i(t) donc pas possible d’utiliser directement les complexes pour calculer l’état du montage. On peut cependant utiliser le théorème de superposition.

b1) Dans le but de déterminer  et           , représenter les 4 schémas illustrant la mise en œuvre du théorème

v(t)        ie (t)

de superposition.

Chacun des 4 schémas décrit un fonctionnement en régime alternatif sinusoïdal. On peut donc l’étudier à l’aide des complexes.

 b2) Connaissant les valeurs ci-contre, reconstituer les calculs qui ont permis d’obtenir les résultats suivants :

v(t) = 3 3 9. cos(1 00.ir.t)+2 6,1 . cos 1 00.ir.t − 2

j+4 1. cos~5 00.irl − z ⎠⎟

⎛ ie (t) = 2,8 . cos 1 00.ir.t+ 21+5,22 . cos(1 00.ir.t)+1, 64. cos(5 00.ir.t)

Le devoir se déroulant sans calculette, il n’est pas demandé d’effectuer de calculs numériques au delà d’une addition ou d’une soustraction. Mais on se servira des résultats donnés ci-dessus pour proposer les résultats des calculs en complexe.

Résultats de simulation du comportement du montage étudié.

Corrigé :

(              )              π ⎞        ⎛            ⎞

a1 - V (t) Lo.  1

d i (t)     ⎛            π             π

=             = Lo . . Iˆ . cos .t

ω            ⎜⎝ ω + ⎠⎟  VLo (t) 5 . 5 . cos 100 .t

= (          )              π             ⎠⎟ =     ⎛            +

π

Lo           ⎜⎝        +             25. cos 100 .t

⎜⎝

dt           2             2             2

                a2 - v(t) e(t) v Lo (t)        V E V Lo

On voit graphiquement que V ≈ E = 325 V et que le déphasage de V par rapport à E est d’environ -4°. D’après ce diagramme de Fresnel : v(t) ≈ 325. cos(ω.t − 0. 1)

Par un calcul avec le logiciel Scilab : VLo=325-25*%i => VLo = 325. - 25.i module=abs(VLo) => module = 325.96012

argument=atan(-25,325) => argument = - 0.0767719 rad = - 0.0767719*180/%pi = - 4.3987054 ° donc v(t) = 325.96012. cos(ω.t − 0.0767719)

b1 - On applique le théorème de superposition aux fonctions du temps (et non pas aux complexes car les régimes sinusoïdaux ne sont pas de même fréquence) :

vLo(t)

325         325         j.

Loi d’ohm généralisée : I =          =             = 2,83 e 2

e1 5j 1 5j 1 35j

+             −             − 1 1 5j

−

Pont diviseur de courant :           (

5 . 1 5j 1               35j)        (              )

5. 120 j

−             j. 0

I =           5,22 e

=             =

e2

5j +1 5j

                − 1 35 j  − 1 1 5j

Ie3 = 0 (en parallèle avec un court-circuit)

Pont diviseur de courant :           (

                2,5 . 75j 2 7j        2,5 . 48j

)              (              )

I=            =             =

                e4 25 75 2 7        73j

Bien que le courant consommé par la charge soit très éloigné d’une sinusoïde, le courant prélevé dans la source « e » est assez proche d’une sinusoïde, ce qui permet de réduire les perturbations dans la ligne 16 Filtre d’un onduleur MLI (10 pts)

Le devoir se déroulant sans calculatrice, les valeurs numériques ont été choisies de façon que les calculs soient simples (3). Beaucoup de questions sont indépendantes.

1. a) Exprimer sous forme exponentielle (4) le complexe  31

On pourra s’aider du cercle trigonométrique ci-contre.

1. b) Soit ZRC l’impédance du dipôle R//C ci-contre. Sachant que R =115 Ω et qu’à la           fréquence 50 Hz :          Ω = 200 C ù  , exprimer, sous forme algébrique (5), la valeur numérique du complexe  1  à la fréquence 50 Hz. Sachant que                200

115 =     , en déduire les valeurs numériques de ZRC      3 puis de ZRC sous forme exponentielle. (s’inspirer du a))

1. c) Le dipôle A-B ci-contre est alimenté en régime alternatif sinusoïdal de pulsation ù . Donner l’expression littérale de l’impédance ZAB de ce dipôle en fonction de

R, L, C et ù .

1. d) Le dipôle A-B précédent constitue la charge d’un onduleur MLI qui lui applique une tension               . Cette tension peut être approximée par une somme de deux v(t) sinusoïdes               de fréquence    et           de fréquence    . On souhaite v1 (t)  50 Hz v2 (t)         10000 Hz calculer                             , mais le calcul à l’aide des complexes n’est pas directement utilisable vR (t) car               et           ne sont pas de même fréquence.

v1 (t)     v2 (t)

On peut néanmoins utiliser le théorème de superposition car le réseau électrique est linéaire.

Uniquement par des schémas électriques, illustrer le théorème de superposition appliqué au montage ci-contre dans le but de calculer  . (L’objectif est de

vR (t)

préparer les questions e) et f) )

1. e) Pour chaque sous-schéma ci-dessus, le régime est alternatif sinusoïdal. On peut donc calculer à l’aide des complexes.

On donne v1(t) = 325. sin( 2ð. 50 . t) et v2 (t) = 240. sin(2ð . 10000 . t)

 (4)         Nombre complexe sous forme exponentielle : module . ei argument

(5)          Nombre complexe sous forme algébrique : partie réelle + j . partie imaginaire

Z1

Z2           ≈             Z1

Grand

module                petit

module                               Grand

module

 Lorsqu’on fait la somme de deux complexes dont l’un a un grand module et l’autre un petit module, cette somme est approximativement égale au complexe de grand module (peut importe les arguments).

On peut appliquer cette remarque aux impédances en série.

Pour les impédances en parallèle, il faut raisonner sur la somme des inverses des impédances

 Module des impédances

f              50 Hz     10 kHz

Lù           0,6 Ω     120 Ω

1             200 Ω    1 Ω

Cù                         

R             115 Ω    115 Ω

ZRC        100 Ω   

v1 (t) engendre aux bornes de ZRC une tension vR1 (t)

Calculer               en justifiant la démarche utilisée. (Comme ci-dessus, on pourra simplifier les sommes de v R1 (t) complexes lorsque les modules sont très différents) v2 (t) engendre aux bornes de ZRC une tension v R2 (t)

Calculer               en justifiant la démarche utilisée. (On pourra simplifier les sommes de complexes lorsque les v R2 (t) modules sont très différents)

En déduire que vR (t) est quasiment alternatif sinusoïdal. Préciser son expression.

Corrigé :

 (             ) 1−1      R c)        = ω + − + ω ou

Z AB jL R              jC            Z AB jL   = ω + B               jRC 1ω + 1 pt

1. d) théorème de superposition :

Module des impédances

f              50 Hz     10 kHz

Lù           0,6 Ω     120         Ω

1             200         Ω            1 Ω        

Cù                                                        

R             115         Ω            115         Ω

ZRC        100         Ω            1            

⎛V . Z   ⎞ ⎛ V . Z             ⎞

1 RC       1             RC

A 50 Hz : ⎜ V =  ⎟ ≈ ⎜   = V ⎟  v R1 (t) v 1 (t) 325 . sin ( 2 . 50 . t)

≈             =             π

⎜ R1                      1

jL Z

ω +         ⎟            ⎜            Z             ⎟

⎝            RC  ⎠ ⎝ RC         ⎠

ExercicElecPro

⎛A 10 kHz :⎜V =              V2. ZRC⎟≈⎛V2 . ZRC ⎜                 ⎟

⎜  R2 jL Z

ω +         ⎟            jL ù

⎝            RC ⎠ ⎝ ⎠

−             π             π

Þ             V ≈ 240.e 2 . (− j) = − 240 e−j2 = 2.ej 2

R2           j120       120

⎛ vR2 (t) ≈ 2. Cos⎜ 2ð.10000. t + ~ ⎟ = − 2.

D’après le théorème de superposition :

vR (t) vR1 (t) vR2 (t) 325. sin(2 . 50 . t) 2. sin(2 .10000. t)

=             +             ≈             π             −             π

Þ             vR (t) ≈ 325. sin( 2ð . 50 . t)

Le filtre L-C permet de transmettre la composant basse fréquence à la charge « R » et d’éliminer la composante haute fréquence engendrée par l’onduleur MLI.