Les methodes numeriques cours de formation complet avec exemples pour debutant
TABLE DE MATIERES
Chapitre 1 : Notions d’erreurs………………………………………….…..…….…..…1
Chapitre 2 : Résolution des équations non linéaires……………….………….……4
Méthode de dichotomie…………………………………………….……..5
Méthode de Newton-Raphson……………………………………………6
Méthode de Lagrange……………………………………………………..6
Méthode du point fixe………………………………………………………7
Chapitre 3 : Méthodes directes de résolution des systèmes d’équations
linéaires……………………….………………………………………….…..………..…..…9
Méthode de Cramer……………..……………………………… ….……..9
Méthode de matrice inverse………………………………………………10
Méthode de Gauss…………………………………..……………………..11
Méthode de Cholesky………………………………………………………12
Méthode de factorisation LU………………….…………………….… .13
Algorithme de Thomas (TDMA)..……………………………………… 15
Chapitre 4 : Méthodes approximatives de résolution des systèmes d’équations
linéaires……………………….………………………………………….…..……………..17
Méthode de Jacobi……………..……………………………… ….… 18
Méthode de Gauss Seidel………………..………………………………19
Utilisation de la relaxation………………………..……………………..19
Chapitre 5 : Interpolation polynomiale……………………….………………………..21
Interpolaton Newtonienne……..……………………………… ….… 22
Interpolation Lagrangienne……………..………………………………23
Utilisation de la matrice de Vondermonde……..……………………..24
Chapitre 6: Approximation des fonctions…………………….………………………..26
Approximation en moyenne quadratique …………………… ….… 27
Approximation par systèmes orthogonaux……………………………29
- Polynômes orthogonaux………………………………………….30
- Approximation trigonométrique…………………………….….33
Chapitre 7: Intégration numérique…………………….……………………….……..36 Formules de quadrature…………………….…………………….……..36
Méthode des trapèzes….…………………….…………………….……..37
Méthode de Simpson………………………….…………………….……..38
Chapitre 8: Résolution des équations différentielles ordinaires…………….……..40
Méthode d’Euler………. …………………….…………………….……..40
Méthode d’Euler améliorée………………….…………………….……..42
Méthode de Runge-Kutta…………………….…………………….……..43
Introduction
L’analyse numérique est une branche des mathématiques. Beaucoup de problèmes ne sont pas résolvables par les méthodes analytiques connues, c’est à cause de cela que sont apparues les méthodes numériques.
Dans plusieurs cas l’approchement de la solution exacte dépend du nombre d’opérations à répéter, ce qui impose une difficulté contre l’application de ces méthodes numériques. L’apparition de l’ordinateur et l’extension de l’informatique a rendu l’application des méthodes numériques très aisée du fait de l’élaboration d’algorithmes implémentés dans des machines à processeurs puissants.
Aujourd’hui la technologie ne cesse d’avancer proposant du nouveau continuellement dans différents domaines, la recherche scientifique est allée plus loin, ayant pu comprendre et modéliser les mécanismes de phénomènes physiques qui étaient ambigus il y a quelques années. Si cela est rendu possible c’est grâce à l’analyse numérique.
Prenons l’exemple suivant:
L’intégrale nepeut pas être calculée avec les méthodes classiques connues comme intégration par parties, changement de variable….
En utilisant l’une des méthodes numériques d’intégration l’impossible deviendra possible.
Si l’analyse numérique est de venue un outil primordial dans le calcul scientifique c’est grâce aux ordinateurs d’où le terme numérique. Alors on est sensé d’apprendre à programmer, tâche laquelle est devenue à la portée de tout le monde par le moyens des langages de programmation sur des machines équipées avec des compilateurs confortables faisant de la programmation un plaisir plutôt qu’un travail.
Dans ce fascicule on se limite à des méthodes numériques nécessaires aux étudiants de deuxième année licence (LMD) pour résoudre pas mal de problèmes rencontrés au cours de leur formation.
A remarquer qu’on s’est basé sur deux points essentiels :
1- Le cours doit être simplifié.
2- Les connaissances acquises sont renforcées par des exemples simples.
Enfin j’espère que les lecteurs trouveront au moins quelques choses d’utiles
Chapitre 1 Notions d’erreurs
1) Définition de l’erreur
Dés la première aurore du calcul mathématique les notions de valeur exacte et d’erreur n’étaient pas encore connus à cause de la simplicité du système de représentation des nombres en effet on utilisait les entiers naturels et les fractions d’unité telles que la moitié (1/2), le quart (1/4), etc. au fil des années les systèmes de représentation des nombres ont évolué et la nécessité de considération de l’erreur ne cesse d’augmenter.
Plus la représentation est plus précise plus l’importance de l’erreur augmente. Aujourd’hui avec des machines puissantes la représentation des nombres est devenue plus profonde en termes de détail par conséquent l’erreur est sensible. On peut voir ça dans les calculs des trajectoires des satellites par exemple.
Comme l’emploi des méthodes numériques se fait au moyen des machines la connaissance de l’erreur est d’une grande importance.
En termes simples l’erreur est la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
2) Sources d’erreurs
Une analyse fonctionnelle de l’environnement du problème physique permet de localiser les sources d’où proviennent les erreurs (Fig. 1):
Figure 1. Sources d’erreurs
Ces erreurs peuvent provenir de 3 sources principales qui sont :
• Modélisation du problème physique : Habituellement la modélisation des phénomènes physiques parait plus compliquée alors on fait recours aux hypothèses et aux
simplifications.
• Ordinateur : Au niveau de l’ordinateur les erreurs naissent lors de la représentation des nombres en langage machine
• Méthode numérique : Le développement de Taylor est un outil très important pour développer des méthodes numériques mais la troncature (Négligence des termes à droite de la série) constitue une source d’erreur. Exemple : = + ′ − + ′′ ! − + ⋯ + ! −
Figure 2. Approximation de f(x) en utilisant les premiers termes du développement de Taylor.
== + −
′
L’erreur est :
avec 3)Définitions = ! pour un certain ε x compris entre x et x |
1) Soient x un nombre réel donné et x* la valeur approximative, on appelle l’erreur absolue :
2) On appelle erreur relative
Cette quantité peut être rapprochéePratiquement on ne connait pas x mais x* donc il est impossible de calculer : |∗∆|∆x mais on dispose
3) alors les chiffres à gauche de la mième puissance sont significatifs
= 2 +d’une autre manière : écrivons x*∗ 10 + ∗ 10 + ⋯+ 1 ∗ 101 + ⋯ ∗ 10 2 ∈ 45 et
2
2 = 6 6 6 ∗ 101
x*=3.14
Chapitre 2 Résolution des équations non linéaires f(x)=0
Introduction
On s’est habitué à résoudre aisément les équations de type < + = + > = 0 par le moyen du =Malheureusement ce discriminant ne sera plus rencontré s’il s’agit de l’équation de type : + > + ? = 0 < 7 + calcul du fameux discriminant ∆ à partir duquel on juge l’existence des racines exactes.
, celle-ci très fréquentée, n’admet pas de méthode de résolution analogue à la
précédente. @AB 7 + 2 + 3 − 1 + 2 + 5 + 1 BD6 3 + 2 − 3 = 0
Et si on parle d’un autre exemple d’équation de type :
On est convaincu qu’on passera un temps énorme pour la résoudre analytiquement si ce n’est pas possible. Ces types d’équations appelées équations non linéaires peuvent être résolues autrement c.à.d. numériquement.
Dans ce chapitre on verra quelques méthodes numériques destinées à résoudre de telles équations.
Localisation de la racine
Théorème 1 : Soit f : [a, b] → R telle que f est continue sur le segment [a, b] et f(a) · f(b) < 0.
Alors f possède une racine dans ]a, b[.
Soit l’exemple suivant : 1-x3+cos x=0 (1)
L’équation (1) peut s’écrire : x3-1=cos x c.à.d. les 2 courbes des deux fonctions y= x3-1 et y=cos x se coupent au point qui est la racine de l’équation (1) (Fig.1)
Figure 1. Localisation de la racine
La racine est contenue dans l’intervalle [1,1.5]
2 : Soit c la racine exacte et c* la racine approchée de l’équation f(x)=0 sur [a,b] de
J ′ J alors |
Méthodes numériques de résolution 1. Méthode de dichotomie
Soit f(x) une fonction définie sur [a,b] et f(a)*f(b)<0 appliquons l’algorithme suivant :
1) On divise [a,b] en sur [a,m] et [m,b] m=(a+b)/2
2) Soit l’intervalle [a,m] on fait le test si f(a)*f(m)[m,a]
3) On revient au pas (1)
4) On refait (2)
5) On continue jusqu’à atteindre la précision désirée
Le nombre d’itérations : 6 ≥ MNO H GMNO MNOP ε est la précision désirée
Exemple :
Calculer la racine de l’équation : -x3+3x+1=0 avec 2 chiffres décimaux significatifs (cds) sur [1,0]
Solution :
2 chiffres décimaux significatifs veut dire 0,5.10-2 donc le nombre d’itérations :
6 ≥ QAR1 + 3QAR5.10QAR2 = 6.64
soit n=7 itérations 1ère itération m(1)=-0.5 [-1,-0.5] et [-0.5,0]
f(-1)*f(-0.5)=(-1)*(-0.625)=0.625 on retient [-0.5,0]
2ème itération m(2)=-0.25 [-0.5,-0.25] et [-0.25,0] f(-0.5)*f(-0.25)=(-0.625)*0.23 =-0.1437 on retient [-0.5,-0.25]
On continue jusqu’ à la 7ème itération, les résultats sont rapportés dans le tableau suivant :
N° itération | Racine | ||
1 | - 0.50 | ||
2 | - 0.25 | ||
3 | - 0.37 | ||
4 | - 0.3125 | ||
5 | - 0.34375 | ||
6 | - 0.328125 | ||
7 | - 0.32 | 4218 |
Donc la racine approchée 10-2 est 0.32
Soit f(x) une fonction définie sur [a,b] et f(a)*f(b)<0, la méthode de Newton-Raphson est une méthode itérative exigeant une valeur initiale x0.
1ère itération : = −
2ème itération : = − ′ …….
Pour évaluer l’erreur on applique le théorème 2 ou nième itération : = − ′ TT|@ − | ≤ | − | ≤ P
Exemple :
Soit l’équation -x3+3x+1=0 sur [-1,0] déterminer la solution en utilisant 4 itérations évaluer l’erreur, la valeur initiale x0= 0
f’(x)=-3x2+3, appliquons la formule = − ′ TT et portons les résultats dans un tableau Solution :
Itération | xk |
1 | -0,33333333 |
2 | -0,34444444 |
3 | -0,3466889 |
4 | -0,34716589 |
| U − 7|=-0,00047698≈ 0,0005< 0.5.10-4 c.à.d. 4 chiffres décimaux significatifs alorsU=-0,3471
2 La méthode est aussi itérative : 1èreème itération : itération : ==W −− HHHHG G W
On peut évaluer l’erreur en utilisant le théorème……. nième itération : = − HH TT 2 ou |@ − | ≤ | − | ≤ P
4) Méthode du point fixe
trouver une fonction g(x) telle que x=g(x) et g(x) ϵ [a,b] et Ig’(x)I≤L[a,b]Soit f(x) une fonction définie sur [a,b] et f(a)*f(b)<0, pour l’équation résoudre f(x)=0 on essaye de
La valeur initiale de x : x0ϵ [a,b]
1ère itération:==RR
2ème itération :nième itération : = R|@ − | ≤ | − | ≤ P
…….
L’erreur peut être évaluée par
En cas de précision donnée ε on calcule le nombre d’itérations minimal : 6 ≥ −QAR X − WQARQ + QARP
Exemple :
itérations. Résoudre l’équation : KNY + 1 = 0 sur [-1,0] en prenant x0=- 0.5 et évaluer l’erreur après 20
Solution :
Soit EWAlors [ Ig’(x)I, ]Ig’(x)I=0.841=L , g(x)=-cosx, la fonction ϵ [-1,0]g(x)= -cosx et est le choix cherché donc on procède au calcul : g’(x)=sinx est croissante sur [-1,0] donc
xk=g(xk-1) (k=1,2,…,20 )les résultats sont stockés dans le tableau suivant :
9 | -0,74512034 | -0,73500631 |
10 | -0,73500631 | -0,74182652 |
11 | -0,74182652 | -0,73723573 |
12 | -0,73723573 | -0,74032965 |
13 | -0,74032965 | -0,73824624 |
14 | -0,73824624 | -0,73964996 |
15 | -0,73964996 | -0,73870454 |
16 | -0,73870454 | -0,73934145 |
17 | -0,73934145 | -0,73891245 |
18 | -0,73891245 | -0,73920144 |
19 | -0,73920144 | -0,73900678 |
20 | -0,73900678 | -0,73913791 |
| − Z|=0,00019466≈ 0,0002< 0.5.10-4 c.à.d. 4 chiffres décimaux significatifs alors=-0,7390
Cours de méthodes numériques
Chapitre 3 Méthodes directes de résolution des systèmes d’équations linéaires
Introduction
Un système d’équations linéaires tel le suivant : Peut être écrit sous forme matricielle : [WWW +++WWW … … …+++ ⋯ + W⋯ + W⋯ + W === XXX \
Définition ]WWW… … . .WWW … .… .… .… . WWW… ^ _…` = _XXX…`ou AX=B
Une méthode de résolution d’un système d’équations est dite directe si on obtient des valeurs finies après un nombre d’opérations
1) Méthode de Cramer
La méthode de Cramer est basée sur le calcul du déterminant de la matrice A et les déterminants
Det ADetassociés aux inconnues i : Déterminant associé à l’inconnue x : Déterminant de la matrice A, avec xi (i=1,….,n) iDet A≠0
Soit le système à 3 équations : b= ? 9 <? 9b
cWWW7 +++ WWW7 +++ WWW7777 777 === XXX7\
Det1=dXXX7 Det A=WWW7 WWWdWWW7 et WWW7 WWW7777HHHedGGGGGGee GGGGGGeeeeeeeedd
7777d = ddGGGe
Det2=dWWW7 XXX7 WWW7777d et = ddGGGGGGee GGGHHHee GGGGGGeeeeeeeedd
2) Méthode de matrice inverse Det3=dWWW7 WWW7 XXX7d et 7 = ddGGGGGGee GGGGGGee GGGHHHeeeeedd
Soit le système d’équations AX=B ; multiplions les 2 membres par A-1 (l’inverse de A) :
ACas d’une matrice carrée 3x3 : Pour calculer l’inverse de-1 A X= A-1B cela devient A : A : X= A-1=-1fgh iB >javec Cij=(-1) i+j(Cofacteur) ij A= C1213 =(-1)=(-1)=(-1)kWWW7 1+21+31+1WWW .(Cofacteur) .(Cofacteur) .(Cofacteur) 7 WWW777l121311=(-1)=(-1)=(-1)1+21+31+1.(.(.( W WW −−WW WW
7
C 7 7
C 77 7 7
CCCC1121=(-1)=(-1)=(-1)2+32+13+2 .(Cofacteur) .(Cofacteur) .(Cofacteur) 21=(-1)=(-1)=(-1)2+32+13+2.(.(.( W W W WWWWW 77 7 7
2322=(-1)=(-1)2+23+3 .(Cofacteur) .(Cofacteur)232233=(-1)=(-1)2+23+3.(.( W W W W W WW77 −− WWW7 WW7
31=(-1)3+1 .(Cofacteur)31=(-1)3+1.( 77 −−− WWW7 WWW7
7 −− W7 WW C 7 7
C3332 32 7 7
Exemple :
Solution :k−133 122 −120 l m7n = m−1−2−1nRésoudre par la méthode de matrice inverse le système suivant :
Det A=d 1. −1 − 2.2−133 −1 − 3.2. 2 − 3.1122 −120 d=1
C12=-( −1 =4 C11 =+( =-5
C13=+( −1 =-5
C21=-(2 −1 − 2.0 3. −1 − 3.0=2
C22=+( =-3
C23=-( 3.2 − 3.2 2.2 − 1.0=0
C31=+( =4
CC3233=+(=-( 3.2 − 3.1 − −1−1. 0. 2=-6=5> =k−524 −3−64 −505 l ; >j = Cours de méthodes numériquesk−5−54 −320 −645 l 3) Méthode de Gauss (Pivot) m 7n = kA−5−5-14= −30 −6540 l m−6−2−1−154 ln = m−580 nk−5−524 −32
Soit le système d’équations AX=B, la méthode de Gauss est basée sur l’idée de trianguler la
]matrice WWW…se transforme en… . .WWWA c.à.d.… .… .… .… .WWW…^=se transforme en… `]<<W…0 <… . .B
Exemple :_XXX…` _==
Solution :Résoudre par la méthode de Gauss le système suivant : c235 +− 2− 2− 3+ 2+ 777= −1= 1= 2\
On porte les composantes kfaisons523 −2−21de même avec la −312 −112 lSoit le pivot2edeligne en la multipliant parA et B 5, dans la matrice :multiplions la 3 5/3e ligne par 5/2 et retranchons de la 1e ligne et ksomme avec la 2500 −49−2//23 −17/271e/ ligne3−771//32l soit le nouveau pivot 9/2 multiplions la 3e par 27/8 et faisons lak5500 − 29−20/2 +−17/2−517/= 18donne−7351//82lcela donne= −47 = −7 ;Z − :7 = :d’où = −14 ; et enfin
4) Méthode de Cholesky
4-1. Mineurs principaux d’une matrice
Soit une matrice nxn en éliminant k lignes et colonnes on obtient une sous matrice pxp alors ledéterminant de cette sous matrice est appelé mineur principal d’ordre Exemple : A=kWWW7 WWW7 WWW7777l p
Det 7 777= . W77 − W7 . W7 est un mineur principal d’ordre 2
Det W , WtkWWWWW 9 WWWWWW77 : Mineurs principaux d’ordre u WWWW . Wl =. W−1. W . W− WWW . W1 est un mineur principal d’ordre − W . W + −1 . W . 3 W W −
W . W + −1 7777 7 7 7 77 7 7 77
7 77 7 7
4-2. Mineurs principaux dominants d’une matrice
Soit une matrice nxn en éliminant les dernières k lignes et colonnes on obtient une sous matrice pxp alors le déterminant de cette sous matrice est appelé mineur principal dominant d’ordre p Exemple : A=kWWW7 WWW7 WWW7777l
W : Mineur principal dominant d’ordre 1 après l’élimination des 2 dernières lignes et colonnes Det tWW WW u=W . W − W . West un mineur principal dominant d’ordre 2 après
l’élimination de la dernière colonne et la dernière ligne
Det kWWW7 WWW7 WWW7777lest un mineur principal dominant d’ordre 3
4-3. Matrice définie positive
Une matrice Anxn est définie positive si chacun des mineurs principaux dominants est positif Théorème :Si A est une matrice symétrique définie positive, il existe une matrice réelle triangulaire inférieure L telle que : A=LLT (L est une matrice triangulaire inférieure)
4-4. Factorisation (Décomposition) de Cholesky MMT
Soit le système d’équations AX=B, avec A une matrice symétrique et définie positive, il existe une matrice triangulaire inférieure A=LLT.
AX=B sera remplacé par LLTX=B qu’on peut écrire LY=B qui est simple à résoudre, une fois le vecteur Y déterminé on résout le système LTX=Y
− +7 = 1 \ k−11 01 10 l ; A est symétrique
Det Vérifions les mineurs principaux dominants : WvvDet . v=3k10−1 > 0 31= 101u ; 011=1v > 0 −110=l7= 1 > 07kvv alorsv07 vƎ0077 L/ A=LLl kv00 T vv0 vvv7777 l = k−131 011 −110 lt
v7 v
v 7 7 7
v + v = 1 ; v = x7
v v
L=
ncela donne : • cela donne
Pour trouver les inconnues xi on doit résoudre le système :
€
5) Méthode de factorisation LU = 0.7574 ; √3 + 77 − 77 7 = 0.5773 ; donc = 0.6617
Théorème
Soit une matrice A nxn, la factorisation Lude A avec lii=1 (i=1,…,n) existe et unique si et seulement si les sous matrices principales Ai (i=1,…,n-1) sont inversibles.
Basée sur ce théorème la méthode de factorisation LU est analogue à celle de Cholesky mais dans ce cas la matrice A s’écrit : A=LU tel que L est une matrice triangulaire inférieure avec lii =1(i=1,…,n) et U une matrice triangulaire supérieure c.à.d.
A=]WWW… … . .WWW … .… .… .… . WWW… ^ ; L=]vv…1 … . .v10 … .… .… .… . …010^ ; U=]•…00 … . .••0 … .… .… .… . •••… ^
Les composantes ]WWW… lij… . . et WWW uij seront déterminées d’après : … .… .… .… . WWW… ^ = ]vv…1 … . .v01 … .… .… .… . …001^ ]•…00 … . .••0 … .… .… .… . •••… ^
•‚ = W‚ BD ƒ = 1, … , 6vb = •Wb BD D = 1, … , 6
vbb = 1
vb‚ = 0 BD ƒ = D + 1, … , 6
•b‚ ∑†‡ vb† •†‚/•‚‚
Une fois les composantes lij et uijsont déterminées on résout le système LY=B après on résout le système UX=Y
6) Algorithme de Thomas (TDMA)
L’algorithme des matrices tridiagonales connu aussi sous le nom de Thomas est une forme
WL’algorithme est le suivant : simplifiée de l’élimination de Gauss. Elle est applicable aux matrices diagonalement dominantes c.à.d. b b |X+b|X>b|b@+b|@+AX=Db|bWb| (i=1,…,n)=ŠŠ‹WX. .0 b(i=1,…,nWX@. .007 X@. .0007 ) avec @. .00007. .. .WW. .0000 = 0XW et . .000 @ = 0@X. .000 ••Ž•Œ ‹ŠŠ‰Š . .7 •Œ••Ž = ŠŠŠ‰Š‹ . .7 ••Œ••Ž
‰Š 00
2-1-Première étape :3- On multiplie La On multiplie La On soustrait 2eligne de la21ee ligne par ligne par1eligne WX
‰
On refait avec la même procédure pour la 3ŠŠ‹ŠX. .0000 X X W@−. .007 @ W @X. .000X7 @. .00007 . e ligne avec la W. .0000 XW. .000 2e@ ligne, etc.… jusqu’arriver à la X. .000 •••ŽŒ ŠŠ‹‰Š . .7 ••ŽŒ• = Š‹Š‰ŠŠ . .7 Œ•Ž••• nième
ligne ou X† = † ce qui donne = •H••; X†et † les composantes de Ann et Dn de A et D
après k=n-1 opérations.
Deuxième étape :
On fait la remontée : A la (n-1)ième ligne = •H•T•T e− KH•T•T
En faisant de même jusqu’à la 1 ligne.
La forme générale pour trouver les et en faisant intervenir Wb b b+=X=Gb“”‘K“bHb“b+b“ @ peut être : +bb ’bb (i=1,…,n-1)+=•G““”G“bH“ cela donnera : •““ (i=1,…,n-1) (1) (2) b
En faisant l’analogie entre (1) et (2)
Avec : ‘b = G“”K“H““ et ’bb ==‘b•G““”G“Hb“•““ (i=1,…,n-1)+ ’b (i=1,…,n-1) Cours de méthodes numériques (3)
Conditions aux limites :
a)b)Soit Soit i=n= (dernière ligne) ‘ + ’ = 0⇒‘ = 0= 0 donc 9 ’ = 0=‘ + ’‡ •G ”GH•
pour i=1 (première ligne) = HK + •H⇒ ‘ = HK 9 ’ = •H
et on fait de même pour i=2 jusqu’à i=n-2Exemple :
Résoudre le système suivant en utilisant l’algorithme de Thomas TDMA : Solution : ‹ŠŠŠŠ‰−120000 −310000 021100 012100 −120300 −200500 ••Œ••Ž Š‰Š‹ŠŠ—˜U7••Ž••Œ = ŠŠ‰Š‹Š−1−21230 •Ž••Œ•
jusqu’à :n=6 On commence par calculer en descendant les coefficients et‘ = ’ = 0‘ = −X@ 9 ’ = ‘bet’b(1=2,…,6) en commençant par
X
‘: = G™”K™™H™ et ’: = •G™™”G™H™•™™
puisEt on calcule les xLes résultats sont portés dans le tableau ci-dessous : ˜ =—‘,: U:, +7’, : ( i en remontant, commençant paret finalement: = 0donc˜ = ’:˜
i | ai | bi | ci | di | b | b | b |
1 | 2 | 1 | -2,05 | ||||
2 | -1 | -3 | 2 | 2 | -0,5 | 4,1 | |
3 | 1 | 1 | 3 | 0,8 | -0,8 | 6,125 | |
4 | 1 | 2 | -1 | -1 | -1 | 3 | -3,125 |
5 | 1 | 3 | -2 | 1 | 1 | -4 | 0,875 |
6 | 2 | 5 | -2 | 0,5 | 1,25 | -0,75 | |
7 | --- | --- | --- | --- | -0,75 | --- |
‘ ’
Chapitre 4 Méthodes approximatives de résolution des systèmes d’équations
linéaires
Introduction
Les méthodes approximatives ou itératives pour la résolution des systèmes des équations linéaires de type Ax=b sont basées sur l’idée de construire une suite de vecteurs x(k) qui converge vers une solution exacte x en utilisant une fonction linéaire f telle que xk+1= f(xk) (kϵIN)
Définitions a) Une méthode itérative est dite convergente sidu système vDE→∞† =ouest la solution exacte b)Une méthode itérative xk+1= f(xk) est consistante si x= f(x) avec x est le vecteur de solutionexacte
c)On appelle erreur à l’itération k (kϵIN) de la méthode itérative le vecteure(k)=x(k)-x
Forme réduite d’un système d’équations linéaires
Le système Ax=b peut être écrit x=B x+c avec B est une matrice et c est un vecteur, c’est par cette forme réduite que le processus itératif ait lieu :
xk+1= Bxk+c
Théorème
Soit le système réduit Le processus itératif xk+1=B xk+c, le processus itératif converge vers une solution unique si l’une des normes canoniques de la matrice B est est inférieure à 1 et la convergence ne dépend pas du vecteur initial x0.
Les 3 normes canoniques :
1- ‖‖==‖‖1==EWEW b∑∑JW‚JWb‚J Jnorme en lignesnorme colonnes
2- œ ‚ b b‚ m : 3-‖=‖† = x∑b‚JWb‚J
Evaluation d’erreur du processus itératif
Pour estimer l’erreur des approximations du processus itératif on utilise les formules suivantes : ou ‖−†‖ ≤ 1 −‖=‖‖=† ‖‖ − ‖
‖−†‖ ≤ 1 −‖=‖‖=‖ ‖ † − † ‖
En pratique si on impose une précisionPon peut estimer l’erreur par : Remarque :
ǁMéthode de Jacobi xk-x(k-1) ǁ≤ Pcela emmènera à écrireJ b† − b† J ≤ P (i=1,…,n)
Soit le système d’équations suivant : [WWW ++ WW … … …+ ⋯ + W === XXX \
Ce système peut être écrit sous la forme suivante : [ = X== −XX −−W WW +… … …⋯ + W++ ⋯ + W⋯ + W /W/W/W \
Cette forme est appelée forme réduite du systèmeLe processus itératif aura lieu en utilisant un vecteur initial xb = [Xb − ∑‚‡ Wb‚ Ax=b. ‚]/WbbElle peut s’écrire autrement : ; i=1,…,n 0 et la forme réduite peut être
formulée comme suite : Exemple : b† = [Xb − ∑‚‡ Wb‚ ‚†]/Wbb; i=1,…,n et D ≠ ƒ
Résoudre par la méthode de Jacobi en utilisant Solution :3 itérations et un vecteur initial=c000€
Le systèmeLe système s’écrira en forme réduite : : c−3 +++ 2+ 3− = 277 = −1= 1 \
- 1e itération : _ 7== −1 −1 − 3= 2 −− 3+ /27/−1/−1\ sera c 7 = −1 + 3= 1 += 1 − + 3/2− 7 \
_- 2 \cela donne_ 7 = −1= 1= 1 \
\ cela donne_ 7= 0.5= −1= 1 \
Méthode de Gauss-Seidel _ 77= −1 + 3= 1 +7 = 1 − + 3/2− 7 \cela donne_ 777= −4.5= 0.75= 4.5\ 7
La méthode de Gauss-Seidel est une amélioration de la méthode de Jacobi en effet elle rend le
équation sera injectée dans la suivante. processus itératif plus rapide. Le système réduit reste le même sauf que la valeur nouvelle de b† obtenue dans la ième Le processus itératif se fera avec un vecteur initial et l’utilisation de la formule : Exemple : b† = [Xb − ∑b‚‡ Wb‚ ‚† − ∑‚‡b Wb‚ ‚†]/Wbb ; i=1,…,n vecteur initial =c000€Résoudre par la méthode de Gauss-Seidel le système précédent en utilisant 3 itérations et un
Solution :
- 1e itération :
-_ 2 \ cela donne_ 7 = 0.5= 1.5= 1\
\ cela donne_ 7 = −2= 19= 6\
_Utilisation de la relaxation 77= −1 + 3= 1 +7 = 1 − + 377/2− 77\ cela donne_ 7777= −27= 194= 56\
La convergence du processus itératif comme a été signalé précédemment ne dépend pas du vecteur initial seulement la vitesse de convergence qui est affectée mais pour accélérer le processus on utilise la relaxation.
Soit le système d’équations : Ax=b (1)
La matrice A peut s’écrire : A=L+D+U
Où : L, D et U sont des matrices respectivement triangulaire inférieure, diagonale et triangulaire supérieure.
En remplaçant dans (1) et en multipliant par ω avecωϵ [0,2] :
ω(L+D+U)x=ωb (2)
En ajoutant Dx (2) s’écrira : (D+ωL)x=ωb-[ωU+(ω-1)D]x
Le processus itératif permet d’écrire : (k+1) (k)
Cela donne :b† ‚‡b Wb‚ ‚†]/Wbb ;
Si• = 1on tombe sur la méthode de Gauss-Seidel.• > 1 • < 1 i=1,…,n
On utilisepour accélérer la convergenceetpour forcer la convergence d’un
processus divergent.
Chapitre 5 Interpolation polynomiale
Introduction
En pratique on rencontre souvent des problèmes où la fonction décrivant une grandeur physique donnée n’est connue que par des valeurs de mesure en des points donnés {(x1,y1) ; (x2,y2) ;……. ; (x ,y )} , ou en d’autres cas connue mais tellement complexe qu’on cherche à la remplacer par un polynôme P(x)=a +a x+a x +….+a x .
Tel est le cas de l’exemple suivant :
Un tourillon de section variable et de longueur L, on désire écrire la section en fonction de la distancex c.à.d.
s(x)≈P(x)= a0+a1x+a2x2+….+a x
On relève les diamètres di (i=1,…,10) à des distances x
Définitions
Soit une fonction y=f(x) définie sur [a,b] n fois dérivable qu’on veut approcher par un polynôme
P(x) par l’usage des points donnés {(x1,y1) ; (x2,y2) ;……. ; (xn,yn)} 1- A cause de l’approximation l’erreur intervient :
E(x)=f(x)-P(x)
2- Les points(xi,yi=f(xi)) sont appelés points d’appui
3- L’intervalle[a,b] est appelé intervalle d’interpolation
Théorème 1
Etant donnés (n+1) points d’appui (xi,yi) (i=0,…,n), il existe un seul polynôme d’interpolation
P(x)
Théorème 2
Soit f une fonction définie sur [a,b] dérivable (n+1) fois et admet (n+1) points d’appui (xi,yi)
où Remarque ¦ = EW [G,H]
Dans certains cas où la fonction est inconnue ou l’utilisation de la formule du théorème précédent apparait difficile on peut faire recours à l’approximation suivante: §
Cas d’interpolation linéaire
f est une fonction définie sur l’intervalle [x0=,x1•], le polynôme d’interpolation dans ce cas est : + © © −
∆•Cas d’interpolation linéaire = • − •et∆ = −sont appelés différences finiesf est une fonction définie sur l’intervalle [x0,x1], le polynôme d’interpolation quadratique dans ce
Avec : = • + ∆•ℎ − + 2! ℎ∆ • − − + ⋯ + 6! ℎ∆ • − − … −
∆• = • − • | ∆ • = ∆• − ∆• |
…. …. | …. …. |
∆• = • − • ∆ • = ∆• − ∆•
∆• = • − • ∆ • = ∆• − ∆•
Exemple :
On donne les points d’appui suivants : (4,1) ; (6,3) ;(8,8) ;(10,20)
1) Ecrire le polynôme d’interpolation de Newton correspondant à f
2) CalculerP (7)
Solution :
b | b | b | b | b |
=4 | • = 1 | |||
=6 | • = 3 | ∆• = 2 | ||
= 8 | • = 8 | ∆• = 5 | ∆ • = 3 | |
7 | 7 |
1) Le pas h=2 • ∆• ∆ • ∆7•
7 = 10 •7 = 20 ∆• = 12 ∆ • = ∆ • = 4
Donc le polynôme s’écrit : = • + ∆•ℎ 2− + 2! ℎ∆ 3• − − + 6! ℎ∆47• − − −
Interpolation de Lagrange
Soient1) (n+1)Cas n=1 c.à.d. i=0,1 et [xpoints d’appui (xQ i ,f(xi=))0,x (i=0,…,n),ªb‡1] b Qble polynôme de Lagrange s’écrit : «QQbb ‚b= 1= 0 ∀ƒ ∀ƒ\
Q = −− ; Q = −−
Donc le polynôme de Lagrange s’écrit : Q = −− + −−
Q = − …….. e …Exemple :Q = −− −−…….. −− 7… .… −−
On donne les points d’appui suivants : (1,2) ;(2,5) ;(6,7) et (8,1)
Ecrire le polynôme de Lagrange et calculer la valeur du polynôme au point x=3Solution :
1)
SoientSous forme matricielle le système s’écrira : ®-¯WWW +++W))WW i=0,…,n +++WWW … … …++++ ⋯ + W⋯ + W⋯ + W⋯ + W === tel queWb\ D = 0, … , 6b =b = •b°®
Exemple :]…111 … . . … .… .… .… . … ^est appelée matrice de Vondermonde1 … . . … .… .… .… . … ^ _WWW… ` = _•••…`]…11
En utilisant les points d’appui ci-dessous et la matrice de Vondermonde écrire le polynôme d’interpolation7
(0,1) ;(1,2) ;(2,9) et (3,28) Après résolution : ]1111 0123 0149 27018 ^ _WWWWU` = _28129 `
Solution :
Donc le polynôme7 =1+7_WWWWU` = [1100U±
Chapitre 6 Approximation des fonctions
Approximer une fonction y=f(x) consiste à remplacer f(x) par une fonction g(x) plus simple et plus utile, en d’autres termes c.à.d. écrire f(x) telle que f(x)=g(x)+E(x) ; où E(x) est l’erreur d’approximation. Deux cas peuvent se présenter :
- Cas où f(x) est connue : g(x) dans la plupart des cas est un polynôme.
- Cas où f(x) est donnée uniquement par un jeu de points (xi, f(xi)) (i=0,…,n), on cherche la fonction g(x) la meilleure en approximation qu’elle soit.
Approximation en moyenne quadratique / moindres carrés
Soit f(x) une fonction définie sur un intervalle [a,b], pour laquelle on cherche une fonction g(x,P) approximative telle que :
f(x)=g(x,P)+E(x) P : Vecteur paramètres c.à.d.= ²…³
E(x) : Erreur
L’idée est de minimiser le carré de l’erreur E(x) en moyenne sur l’intervalle [a,b]
a) Cas où f(x) est connue (moyenne quadratique):
Considérons la quantité :P = GH − R ,
Minimiser P revient à écrire :H − R , ´R , = 0 Cette quantité est appelée moyenne quadratique de l’erreur E(x). ´´Pb = 0 D = 1, … , 6 ⇒ −2 µG ´
Ou autrement :
¶·¶ = 0 ⇒ −2 GH − R , ¶O¶·,· = 0 (1)
¶·¶ = 0 ⇒ −2 GH − R , ¶O¶·,· = 0 (2)
…… On obtient un système d’équations à ¶·¶ = 0 ⇒ −2 GHn inconnues− R P,i (i=1,…,n)¶O¶·,· = 0 (n)
Exemple :
On donne la fonction : y=ex définie sur [0,1] et qu’on désire l’approximer par un polynôme de 1e degré.
Solution :
Soit g(x,P)=P1+P2x , alors le vecteur P s’écrit : = ¸ ¹
Ecrivons la moyenne quadratique :P = µ − −
Dérivons par rapport à et :
´´P = 0 ⇒ µ − − = 0º − − 12 » = 0
2 − = 2 − 2
´´P = 0 ⇒ µ − − = 0
L’erreur moyenne quadratique se remplace par :
Dans ce cas on parle de moindres carrésP .= ª •b‡ b − R b,
De même on cherche à minimiser ε P :
¶·¶ ½ = 0 ƒ = 1, … , Eavec = ² …1³
‡ª •mb inconnues− R b, ´R´ b‚, = 0
On obtient un système d’équations à Exemple : b (i=1,…,m)
Un fil conducteur électrique, de longueur 10 cm, traversé par un courant électrique chauffe. On recueille les valeurs de température en 3 points :
Abscisse (cm) xi | 5 | 10 | |
Température (°C) Ti | 23 | 38 | 22 |
en utilisant l’approximation en moindre carrés écrire la température en fonction de la longueur en utilisant un polynôme de second degré
SoitSolution :R b , ,
¶·¶ e = 0− +donne :+ 7 + ¾ − + + 7 Cours de méthodes numériques+ ¾7 − + 7 + 7 7 7 = 0¾
On obtient ainsi un système d’équations à ¾ − + = 0+7 + ¾ − 3+ inconnues : + 7 + ¾7 − + 7 + 7 7 7
Après résolution : c220303 + 1800+ 220+ 1020 + 1800+ 15664+ 220 77 = 1020= 2067 = 6904\
Donc l’expression de la température dans le fil conducteur s’écrit : = 47.7083; = −0.1139 et 7 = −0.2423Approximation par systèmes orthogonaux ¾ = 47.7083 − 0.0.1139 − 0.2423
1) Système orthogonal a) Produit scalaire de deux fonctions
f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a,b], on définit une fonction ω de pondération. On appelle produit scalaire de < ••••, R >=<<< ¿ , R, R + ℎ >=<+GH R, ℎ•>=<>=<, ¿R > ¿ +< R, ℎ >, R > +, ¿¡4, ℎ >f et g qu’on note<f,g> :
•<< , R >=< R,, > > 0 ∀ >∈ >[W, X]
•
b)
c), R > = 0 Définition d’un système orthogonal ou GH • f et g Rdéfinies sur un intervalle = 0 , •est une fonction de pondération[a,b] sont orthogonales si et seulement si
Soit une série de fonctionsSi. On dit que Ä2)G=1H•Application de l’orthogonalité en approximation des fonctions le système est orthonormé.Â>1 est un système orthogonal si et seulement si => =«Ä0Á BD BDE ≠ 6 E = 6,  , \ , ÂÄ ≠ 0, … ,  , •∀ Âest une fonction de pondérationÃ1, Âdéfinies et continues sur∈ > : [a,b]
fonctions forme : Etant donné un système orthogonalÂb en approximation est d’écrire la fonctionÁÂb à (i=0,…,n) , f(x) l’avantage de l’orthogonalité des qu’on veut approximer sous la
Les coefficients Du fait de l’orthogonalité desµGH  •Wb seront déterminés comme suit : ==µ ÂGWHÂÂbH•on aura :+ W W•Â+W WÂ+ÂW Â= 0+, … , +W+ W  +, … , +WÂ
µ µ ÂGH • ….. W  = 0
G
Finalement on écrit : µGH Â • = W µ ÂGH •
et selon la définition de l’orthogonalité: Donc : µ ÂGH • = Ä
µGH Â • = W Ä
D’où : 3) Polynômes orthogonaux W = Ä1 µGH Â •
[Considérons un système de polynômesa,b] Á , , , … , Ãdéfinis sur un intervalle
Les polynômes orthogonaux les plus connus sont : Selon la définition de l’orthogonalité vue précédemment deux polynômesorthogonaux si et seulement si < 1, > = 01 et sont
- Polynômes de Legendre
- Polynômes de Laguerre
- Polynôme de Tchebychev
La série de fonctions a)Polynômes de Legendre Á , , , … , Ãdéfinis sur [-1,1] comme polynômes de
Legendre. Les= 1b (i=0,…,n) sont donnés par la relation de récurrence : =
etc. 7 = 2 . − 2 = 2 − 2
Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour ω(x)=1 sur[-1,1].
Leurs orthogonalité donne :
µ 1 = c\
Remplaçons les polynômes non normaux et1 par des polynômes :
Åb = xb (i=0,…,n)
Les polynômesÅ , Å , Å , … , Å en plus de leurs orthogonalité sont normaux alors
ils sont orthonormés
Application en approximation des fonctions
Soit une fonction f(x) continue sur[-1,+1], qu’on désire l’approximer par des polynômes de Les coefficientsWb(i=0,…,n) = Wseront déterminés : +WW= 12 µ + W +, … , +WLegendre :
W = 32 µ .
…. W = 26 + 12 µ .
Exemple :
Ecrire la fonction y=ex sur[-1,+1] sous forme de somme des deux premiers polynômes de Legendre
Solution :
W
Donc :≈ 1.175 + 1.103
b) Polynômes de Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev sont définis comme suit : Ils sont orthogonaux : ¾ = cos 6WÉ@AB , ∈ [−1, +1] et 6 ≥ 0
La fonction de pondération•
Propriétés µ¾ = _Ê2 \
TrouvonsLes polynômesEt en utilisant la relation de récurrence : 3)1)2)¾−1¾¾−≤ ¾= 1¾=et aux (n+1) points ¾−1≤ +1,peuvent être générés par la relation de récurrence : : ¾ ¾∈ [−1, +1]¾ ¾= 2, =, ¾cos=, … ,cosWÉ@AB− avec 0¾ = 1=)=, 6 ≥ 1cos )Ë (r=0,1,…,n)
¾ = 2 ¾ − ¾ = 2 − 1
¾7 = 2 ¾ − ¾ = 2 − 1 − = 4….. 7 − 3
Application en approximation des fonctions ¾ = 2 ¾ − ¾
Soit la fonctionD’une manière semblable aux cas vus précédemment les coefficientscomme suit : f(x) continue sur≈ W + [-1,+1] W ¾ qu’on approxime par le polynôme de Tchebychev : + W ¾ +W ¾ + ⋯ + WWb(i=0,…,n) ¾ se déterminent
W
Exemple : W
l’’approximer par des polynômes de Tchebychev (on se contente d’un ordre égal à Soit la fonction • = Ì + 2 1 − définie et continue sur[-1,+1], on cherche à 1)
Solution : W
Donc on écrit :4) Approximation trigonométrique • ≈ 2.004 + 31.248Ê
La série de fonctionsde pondération Application en approximation Système trigonométrique orthogonal • = 1Á1, @ABconstitue un système orthogonal surËË@AB6 . @ABE BD66 . BD6E , BD6 , @AB 2==, BD6ÍÍÊ0Ê BD 6 = E= 0 BD 6 = E BD 6 ≠ E2 (… , @AB6l’intervalle ≠\ (\ 06)66≠≠0, BD60) [−6Ê, +ÊÃ avec la fonction ]
Ë
Ë Ë @AB6 . BD6E Ë
Soit une fonction revient à déterminer les coefficientstrigonométrique Q(x)=f(x) W W† [−Ê, +Ê] , approximerf(x) @AB6à un polynôme + X BD66
W Ë ËË Cours de méthodes numériques
W† Ê11 µËËË . @ABÎ . BD6Î X† Ê µË
Ecrire le polynôme trigonoExemple : métrique du premier ordre approximant la fonction• | | sur[−Ê, ÊI
ÍV WSolution : W 0 *Ê *@AB * Êž 0XBD6W21Ê µË| | 22Ê µË Ê2
Ë
X Ê1 µWË Êè1me µËË| |. @AB Ê2 µË . @AB Ë . BD6Ê40Ë| |. BD6 Ê1 µË . BD6 Ê1 µ
On peut généraliser pour le k ordreW† ÊÎ2X†F10† 1I
V 1.5707 0.7853@AB
Chapitre 7 Intégration numérique
Introduction générale
Soit une fonction y=f(x) définie et continue sur un intervalle [a,b]
Trouver l’intégrale définieGHveut dire calculer l’aire4délimitée par les droites y=0 ; x=a ; x=b et la courbe y=f(x).
Habituellement on utilise des méthodes analytiques pour calculer cette aire cependant ces méthodes apparaissent inutiles dans plusieurs cas on fait donc recours au calcul approché. 4 V Å
Ou autrement :4 Å ()
Q(f) est la valeur approximative de l’intégrale définie I(f)
E(f) est l’erreur
Exemple : l’intégralene peut pas être calculée analytiquement, pour le faire on utilise des méthodes numériques.
Formules de quadrature
Définition Soit l’intégrale définie4 GH , on appelle formule de quadrature l’expression
Théorème Å ∑b‡ b •b ; b ∈ FW, X] et •b ∈ 4
Soit la fonction y=f(x) définie sur l’intervalle [a,b] et soit la formule de quadrature :
Å = ∑b‡ b •b où b ∈ [W, X] et ∀6 ∈ 45
1) ∃¦ > 0,∀∀6 tel que ∑b‡ |•b | ≤ ¦On suppose que :
2) (x) (P(x) est polynôme) on a :
35
Formules de quadrature a)Formule du rectangle à gauche 4ÒÓ X W W
b) Formule du rectangle à droite 4Òf X W X
c) Formule du point milieu
4·Ô X W W 2 X
d) Formule du trapèze 4 = X − W G H
Degré d’exactitude d’une formule de quadrature
C’est le degré maximal des polynomes pour lequel la formule est exacte.
1- Formules des rectangles :
Degré d’exactitude=1
2- Formule du trapèze
Degré d’exactitude=1
3- Formule de Simpson
Degré d’exactitude=3
Quadratures composites
1) Méthode des trapèzes
Soit f une fonction continue et différentiable un nombre suffisamment grand de fois sur [a,b] divisé en n parties égales. ℎ = H G , b = + Dℎ et •b = b (i=0, ,n)
( est l’erreur, elle a pour expression :( = §12ℎ X − W ′′@ § = § X − W126 7 ′′@ § ≤ ¦ X − W126 7
Nombre de sous intervalles pour une précision donnée avec c ∈ FW, X] et ¦ = EW [G,H]J ′′J
Etant donnée la précision Pon peut déterminer le nombre minimal n des sous intervalles Exemple d’application : 6 ≥ Õ X − W12P7¦
[0,1] n=10. et évaluer l’erreur.
On calcule le pasℎ = = 0.1
b | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | |
•b | 1 | 1.0488 | 1.0954 | 1.1401 | 1.1832 | 1.2247 | 1.2649 | 1.3038 | 1.3416 | 1.3784 | 1.4142 |
1.2649 + 1.3038 + 1.3416 + 1.3784√′′ + 1 = . [ 1 + 1.4142 + 2 ]+1.0488 + 1.0954 + 1.1402 + 1.1832 + 1.2247 +
Alors Cela permet de dire queet≤ ¢ , U
+ •U … + • ] + (
( = §
Nombre de sous intervalles pour une précision donnée c ∈ [W, X] et ¦U = EW [180G,HℎU]J X − W′′′′J′′′′@ § = § X − W1806U— ′′′′@ § ≤ ¦UX − W1806U—
Soit P la précision imposée le nombre de sous intervalles n peut être déterminé par :
Exemple d’application :
On donne la fonction• = ∈[0,1] n=10.
En utilisant la méthode de Simpson. Calculer l’intégrale4 = et évaluer l’erreur.
Solution :
On calcule le pasℎ = = 0.1
b | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | |
•b | 1 | 1.8333 | 0.7142 | 0.625 | 0.5555 | 0.5 | 0.4545 | 0.4166 | 0.3846 | 0.3571 | 0.3333 |
0.5555 + 0.4545 + 0.3846 ]== 7. [1 + 0.3333 + 4 est décroissante sur =0.5493 0.8333 + 0.625 + 0.5 + 0.4166 + 0.3571[0,1] et ≤ 384 ∀ ∈ [0,1] + 2 0.7142 +
′′′′ 7ÖU × 7ÖU ×
DoncAlorsU
et
Chapitre 8 Résolution des équations différentielles
Introduction générale
En physique, les phénomènes sont gouvernés par des lois écrites souvent sous forme différentielle (cas unidimensionnel) ou plus généralement sous forme d’équations aux dérivées partielles (cas pluridimensionnel). Comme signalé auparavant qu’on se confronte dans plusieurs cas à des difficultés de résolution par la méthode analytique, pour cela on fait appel aux méthodes numériques.
Plusieurs méthodes sont utilisées, le choix balance entre la simplicité et la précision de la méthode. Dans ce cours on se contentera des équations du premier ordre de type de problème de Cauchy.
Définition
Une équation différentielle est dite d’ordre 1 si elle de la forme : y’(t)=f(t,y(t)) avec t ϵ [t0,T] et f une fonction définie : [t0,T] X IR ->IR
Problème de Cauchy
Les équations différentielles de la formey’(t)=f(t,y(t)) avec la condition initiale de Cauchy constituent le problème de Cauchy : m•’ 9• 99 =, •• 9 \ 9 ¡ [9 , ¾]
1)Méthode d’Euler Soit l’équation différentielle du premier ordre avec la condition de Cauchy :
m•’ 9 = 9, • 9 \ 9 ¡ [9 , ¾] (1)
Divisons l’intervalle[9 , ¾]en n parties égales,• 9 = • c.à.d. le pasℎ = j h
La tangente à la courbeEcrivons9† = 9 + Îℎ (k=0,1,…,n) y=y(t) en t=9 a
pour équation :
Ú 9 = • 9 + •′ 9 9 − 9 (2)
Selon (1), l’équation (2) peut s’écrire :Au pointÚ 9 t==9 • : 9 9+− 99 , • 9 − 9Ú 9 = • 9 + 9 , • 9 − 9
Ú 9 = • 9 + 9 , • 9 9 − 9
Encore :
Or h=
Ú 9
En approximantÚAu pointDe même considérons la droite d’équation9 • t= ℎ9 , •≈ • , on peut écrire :• =Ú•9+ ℎ= •99, •Cours +•′ 9 de méthodes numériques9 − 9
ÚRemarque :Au point9 = t=•99+ •′ 9 9 − 9 en faisant de même nous aurons :•• ==•• + ℎ+ ℎ 99, •, •
La méthode d’Euler est simple et rapide mais en revanche elle est peu précise, elle d’ordre 1.
En utilisant l’algorithme de la méthode d’Euler : Exemple d’application : «•’ 9 •= 0• 9= 2− 9 + 2\ 9 ¡ [0,1]Soit h=0.1
9 = 0.1 • •==••+ ℎ+ ℎ• 9= 2.499, •, •, •avec= 9= 9++• ℎ •ℎ •= 2− 9− 9 + 2+ 2
Et ainsi de suite…. 9 = 0.2 • = • + ℎ• = 2.83
i | b | b |
2 | ||
1 | 0.1 | 2.4 |
2 | 0.2 | 2.83 |
3 | 0.3 | 3.293 |
4 | 0.4 | 3.7939 |
5 | 0.5 | 4.3315 |
6 | 0.6 | 4.4146 |
7 | 0.7 | 5.5461 |
8 | 0.8 | 6.2307 |
9 | 0.9 | 6.9738 |
10 | 1.0 | 7.7812 |
Les résultats sont mis dans le tableau ci-dessous : 9 •
2)Méthode d’Euler améliorée Cette méthode est plus précise que la précédente, elle est d’ordre 2
La droiteSoit le problème de Cauchy : m•’(AB) : 9• 99 =, •• 9 \ 9 ¡ [9 , ¾]
ÚCommei 9 = B•ϵ (AB) on a : + 9 , • 9 − 9
• Û = • + Ø 9 , •
La droiteÚÜ 9 = • (BC)Û +a pour équation :¸9 Û, • Û¹ 9 − 9Û
Et comme la droite (AD) est parallèle àÚÜ 9 (BC) = celle-ci aura la même pente :¸9 Ø, • ع 9 + X
Au point A 9 , •on peut déterminer b et écrire :ÚÜ 9 = ¸9 Ø, • ع 9 − 9 + •
Au point9 = 9 on aura :
• Û = • +
En revenant àØ •9 , •= • , on peut écrire définitivement :+ ℎ ¸9 Ø, • ع
• = • + ℎ k9 + ℎ2 , • + ℎ2 9 , • l
L’algorithme :1-2-CalculerCalculer Î = ℎ 9 , •Û† ¹• = • + ℎ ¸9 , • +
Exemple :3-Nouvelle valeur9 = 9 + ℎ
améliorée : Reprenons le problème proposé précédemment dans la méthode d’Euler et«donc on cherche•’ 9 •= 0• 9= 2− 9 + 2•en appliquant l’algorithme de la méthode d’Euler \ 9 ¡ [0,1] Soit h=0.1 9 = 0 • = • 0 = 2
Reprenons la procédure pour : • = • + ℎ ¸9 ØÎ, •ℎ+ Î29¹ = 2 + 0.1 º¸2 +, • = 0.1 • − 90.42Cours de méthodes numériques+ 2¹ − = 0.40 + 0.05+ 2» = 2.4159Et ainsi de suite…… = 0.1• = • et + ℎ• = 2.415¸9 Ø, •Î+ = ℎÎ2 ¹ = 2.415 + 0.1 º¸2 +9 , • = 0.1 • − 90.4315+ 22 ¹ −= 0.43150.1 + 0.05+ 2» = 2.8465
Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
9b | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | |
•b | 2 | 2.415 | 2.8465 | 3.3111 | 3.8122 | 4.3535 | 4.9388 | 5.5727 | 6.2599 | 7.0059 | 7.8165 |
3) Méthode de Runge-Kutta
Cette méthode est très convenable pour les problèmes de Cauchy pour sa haute précision (4e ordre)
L’algorithme :1-2- CalculerCalculer ÎÎ = ℎ= ℎ 9¸9, • Û, •+ † ¹
3- CalculerÎ7 = ℎ ¸9 Û, • + † ¹
Exemple :4-6-5- CalculerNouvelle valeurCalculer ΕU = ℎ9= •9Ø= 9+, •˜ + ℎÎ++ 2Î7 Î+ 2Î7 + ÎU
«9Soit le problème précédent : Appliquons l’algorithme de la méthode de Runge-Kutta : •’= 09•=et0••9= 2− 9 + 2= • 0 \ = 2 9 ¡ [0,1]Soit h=0.1
ÎÎ ℎ= ℎ 9¸9, •Û, •= 0.1+ † ¹ = 0.1 ºt•• − 9 + 2 += 0.1† u − 92 − 0 + 2Û + 2» = 0.1 Ýt= 0.4Cours de méthodes numériques 2 + .Uu − 0 + 0.05 + 2Þ
ÎÎ7= 0.4150Û † ¹ = 0.1 ºt• + † u − 9 Û + 2» = 0.1 Ýt2 + .U —u − 0 + 0.05 + 2Þ
= ℎ ¸9 , • +
= • +˜ Î
ΕÎEn répétant la démarche pour les autres valeursPuis on calculeregroupe dans le tableau suivant : Ε7UU= 2.4163= 0.4157= 0.4365= ℎ 9Ø, ••+ 2+:ÎÎ7 + 2= 0.1Î7 +[ •ÎU += 2 +Î7 − 9˜ Ø0.4 + 2 0.4150 + 2 0.4157 + 0.4365+ 29† Î = 1, . . ,10] = 0.1[ 2 + 0.4157on obtient les résultats qu’on − 0 + 0.05 + 2]
k | † | |
2 | ||
1 | 0.1 | 2.4163 |
2 | 0.2 | 2.8659 |
3 | 0.3 | 3.5323 |
4 | 0.4 | 3.8793 |
5 | 0.5 | 4.4513 |
6 | 0.6 | 5.0728 |
7 | 0.7 | 5.7492 |
8 | 0.8 | 6.4863 |
9 | 0.9 | 7.2903 |
10 | 1.0 | 8.1684 |
9 •
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