Cours d’introduction a la resistance des materiaux RDM pour debutant
Cours de résistance des matériaux
- Première notions de mécanique des solides déformables
- Premières notions de comportement des matériaux
- Aborder des situations classiques en RDM
- Résoudre des problèmes simples de dimensionnement
Résistance des matériaux
Ch. 1 - Introduction à la RDM
Ch. 2 - Equilibre global des structures
Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM
Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Ch. 5 - Les sollicitations simples
Ch. 1 Introduction à la RDM
1 – Objet de la RDM
Objet de la RDM
De façon générale, Mécanique = étude des effets d’actions extérieures sur des solides et fluides.
Choix d’une modélisation = fonction de l’application, des objectifs visés, des hypothèses fixées…
Exemple : étude dynamique du mouvement d’un pendule méca. des solides rigides
En mécanique des solides déformables, on étudie
- les déplacements relatifs entre points d’un solide (notion de déformations)
- les efforts intérieurs associés (notion de contraintes)
L’objectif est de déterminer, par le calcul, des pièces de machine, des éléments de structures :
- Dimensionner ces pièces (objectifs d’économie)
- Vérifier leur tenue mécanique (déformations / contraintes limites imposées) RDM = Etude des déformations, déplacements et contraintes d’objets de forme simple. Dans la cadre de ce cours, des poutres.
Elle est issue de la théorie, plus générale, de la Mécanique des Milieux Continus.
Ch. 1 Introduction à la RDM
2 – Champ d’application de la RDM
Champ d’application de la RDM
- Calcul de structures
- Bâtiments, charpentes, structures métalliques…
- Ouvrages de génie civil…
- Squelette structural de systèmes divers
- Calcul de pièces mécaniques
• Arbres de transmission
• …
- Première approche de calculs complexes
• Etablir un premier résultat simplement
Ch. 1 Introduction à la RDM
3 – Objectifs du cours
Objectifs du cours
- Savoir étudier le comportement d’une structure de type « poutre » sous des actions
(simples)…
• Calcul des contraintes
• Calcul des déformations et déplacements
- … dans le but de les dimensionner / vérifier
- Actions connues + efforts/déplacements admissibles problème de dimensionnement
- Dimensions connues + actions connues problème de vérification
Ch. 1 Introduction à la RDM
3 – Objectifs du cours
Principe d’étude d’une structure de poutres
Contraintes dans les sections
Vérification Isoler
Déterminer les Diagramme des Dimensionnement la structure actions de liaison efforts internes (selon valeurs admissibles) et en certains points ?
Résistance des matériaux
Ch. 1 - Introduction à la RDM
Ch. 2 - Equilibre global des structures ?
Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM
Ch. 4 - Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
Ch. 5 - Les sollicitations simples
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Objectif
- A l’équilibre, déterminer les actions de liaison qui sont a priori inconnues.
Principe de la statique
- PFS :
Sous l’action des efforts extérieurs, la structure est en équilibre ↔ chaque élément de la structure est en équilibre.
F=0
Pour chaque élément isolé :
Lois de la mécanique du
solide indéformable !
MP=0
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Actions extérieures appliquées
- Forces de contact
• Ponctuelles
• Réparties
- Forces de volume
• Les plus courantes : pesanteur
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Actions de liaison
Appui simple
Articulation ou rotule
Action de liaison : Ry
Action de liaison : Rx, Ry
Poutre
Poutre
Poteau
Poteau
Encastrement
Action de liaison : Rx, Ry, Mz
Poutre
Poteau
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Remarque sur les charges réparties
- Charge équivalente à une charge répartie
Une charge uniformément répartie sur une longueur
Intensité : pL est globalement équivalente à une force ponctuelle : - Point d’application : au milieu de L
- Preuve :
…
- Remarque :
Nous avons en fait calculé le torseur de l’action mécanique répartie p.
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Schéma de calcul
- Règles de schématisation :
• Poutre schématisée par sa ligne moyenne (ou fibre de référence)
• Actions de liaison schématisées par les composantes de réaction
• Actions extérieures schématisées par les forces réparties/ponctuelles ramenées à la ligne
moyenne
• Repère de référence à représenter (car convention de signe pour les composantes de réaction)
• (Il est recommandé de reporter les indications de longueurs)
...
Ch. 2 Equilibre global des structures
1 – Statique des structures
Calcul des actions de liaison
Situation réelle
Modèle
Schéma de calcul
Application numérique : poutre de longueur 2L, charge P.
Situation réelle
Modèle
Schéma de calcul
Ch. 2 Equilibre global des structures
2 – Iso / hyper staticité
Généralités
- Isostatique ↔ le PFS suffit à déterminer les inconnues statiques
- Hyperstatique de degré n ↔ n équations supplémentaires sont nécessaires.
- En pratique
• Pour une structure isostatique :
libérer 1 ddl instabilité (on peut parler alors de mécanisme) structure hyperstatique de degré n : on peut libérer jusqu’à n ddl et rester stable.
• Remarque : degré d’hyperstaticité indépendant du chargement.
Ch. 2 Equilibre global des structures
2 – Iso / hyper staticité
Degré d’hyperstaticité
- Si l’on travaille dans le plan (cadre de ce cours) alors nous avons pour équations :
... ...
Ne : nombre d’équations (pour un solide dans le plan, Ne=3)
Nr : nombre de composantes de réaction
n : degré d’hyperstaticité
n = 0 isostatique (cadre de ce cours)
n < 0 hypostatique, instable (pb. insoluble)
Ch. 2 Equilibre global des structures
2 – Iso / hyper staticité
Exemples
... ... ...
Résistance des matériaux
Ch. 1 - Introduction à la RDM
Ch. 2 - Equilibre global des structures
Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM
Ch. 4 - Torseur de cohésion
(ou des efforts internes)
Ch. 5 - Les sollicitations simples
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
Introduction
- La RDM est une théorie simplifiée.
- Elle découle d’un certain nombre d’hypothèses qui cadrent son domaine de validité.
• On s’intéresse à des solides considérés comme déformables
• Des restrictions multiples sont nécessaires pour utiliser la RDM.
… sur les géométries
… sur les matériaux
… sur les efforts extérieurs
…
- Ce chapitre vise à poser l’ensemble de ces hypothèses
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
1 – Notion de poutre
Définition
Poutre = volume engendré par une surface S quand G décrit une courbe C.
• C = ligne moyenne = courbe des centres de gravité des sections S.
• (Si) = sections droites, perpendiculaires localement à C en Gi.
Remarque : (S) peut varier le long de C.
Repérage
• Utilisation d’un repère local à chaque section droite Si. Défini par :
...
dans le plan de (Si).
Généralement parallèles aux axes principaux de (Si) G, zi
(= axes de symétrie, s’ils existent).
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
1 – Notion de poutre
Hypothèses
Elancement
Dimensions transversales (↔ Si) petites devant les dimensions longitudinales.
Remarque : sinon, autre théories : plaques et coques, ou élasticité.
Rayon de courbure
Doivent être limités.
Variations de section
Doivent être lentes et continues.
Restrictions dans le cadre de ce cours
• Poutres droites et problèmes dans le plan.
• Section constante.
• Sections droites symétriques
G, x, y
i
est le plan de symétrie.
• Conclusion : poutre définie par 1 ligne moyenne
1 section droite
Représentation
yG1 x
Ligne moyenne
Section droite
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
2 – Actions mécaniques
Actions mécaniques
- Deux types d’actions mécaniques
• Localisées
• Réparties
- Le chargement doit être ramenée au niveau de la ligne moyenne.
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
3 – Hypothèses fondamentales
Matériaux
- Matériaux continus, homogènes et isotropes échelle macroscopique
hypothèse d’isotropie
échelle « microscopique »
- Elasticité linéaire
Contrainte
Déformation parfaitement réversible +
coefficient
constant
Déformation
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
3 – Hypothèses fondamentales
Déformation
- Hypothèse de petites déformations
On ne considère que la zone de comportement élastique des matériaux
Les déformations et déplacements restent petits.
Les calculs se font à partir de la structure non déformée.
- Hypothèse de Navier Bernoulli
Les sections droites et planes restent droites et planes après déformation.
↔ La ligne moyenne se déforme mais les sections droites sont « rigides ».
C
C déformation
Ch. 3 Définitions et hypothèses de la RDM
3 – Hypothèses fondamentales
Chargement
- Principe de St Venant
« Les contraintes (et déformations) dans une section droite éloignée des points d’application
d’un système de forces ne dépendent que de la résultante et du moment résultant (au centre
de gravité de la section) associés à ce système de forces. »
Conséquence :
• Les résultats de la RDM sont valables loin des points d’application des forces.
• Quel que soit la nature d’un système de force, seul le torseur résultant au centre de gravité de la
section détermine l’état de celle-ci.
En pratique :
• On considère qu’au-delà de 2-3 fois de la plus grande dimension transverse, résultats valables.
Résistance des matériaux
Ch. 1 - Introduction à la RDM
Ch. 2 - Equilibre global des structures
?
Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM
Ch. 4 - Torseur des efforts internes
(ou de cohésion)
Ch. 5 - Les sollicitations simples
Ch. 4 Torseur des efforts internes
1 - Introduction
Introduction
- Passage de l’échelle globale à l’échelle locale
- Des efforts extérieurs aux efforts internes
But : connaître la répartition de ces efforts
… Les risques de rupture sont liés aux efforts de cohésion de la matière !
… Et l’objectif de la RDM est de vérifier la tenue mécanique des structures !
- Principe :
On réalise une coupure afin de déterminer le torseur des efforts de cohésion
... ...
Ch. 4 Torseur des efforts internes
2 – Définitions
Coupure fictive et repère local
E/Eg
E/Ed
On considère une coupure fictive de la poutre (E) au niveau de la section Sx de centre de gravité Gx
• (E) est partagée à droite, côté x positif, en (Ed), à gauche, côté x négatif en (Eg) : E
= E E
d
g
( importance du sens de parcours donné par la direction x : convention de signe)
• Le repère (Gx, x, y, z) est le repère local à la section droite (Sx).
• Actions extérieures appliquées à (E) :
Équilibre statique de la poutre
Ch. 4 Torseur des efforts internes
2 – Définitions
Torseur des efforts internes (ou de cohésion)
actions extérieures appliquées à (E
Définition :
Le torseur des efforts internes en x est le torseur, en Gx, des actions de (Ed) sur (Eg).
efforts internes x
E /EdgGx
- Equilibre statique de (Eg)
( = - torseur des actions extérieures à gauche)
efforts internes x
E/Eg Gx
( = torseur des actions extérieures à droite)
E / d
E Gx
ENSM-SE
RDM - CPMI 2011-2012
28
Ch. 4 Torseur des efforts internes
2 – Définitions
Eléments de réduction du torseur de cohésion
... ... ...
Ch. 4 Torseur des efforts internes
3 – Diagramme des efforts internes
Etape très importante !
Pour la suite des développements, il est indispensable de déterminer correctement les
éléments du torseur des efforts internes.
Calcul des efforts internes
- Découpage en différents tronçons
Selon les actions mécaniques rencontrées
Selon la géométrie de la ligne moyenne
- Ecrire le PFS sur chaque tronçon dans le repère local
Coupure fictive on isole la partie droite ou gauche
Détermination des composantes d’efforts internes grâce au bilan des actions extérieures
Convention de signe en fonction du sens de parcours.
Repère local ≠ repère global le plus souvent.
Ch. 4 Torseur des efforts internes
3 – Diagramme des efforts internes
Exemples de calcul des efforts internes
- Remarques :
• Choix de la partie droite ou gauche indifférent (sauf sur la simplicité des calculs !)
• Conventions de signe assurent une compréhension physique. (exemple N quel que soit le tronçon considéré)
• Résultat indépendant du choix du repère local (tant que x est tangent à la ligne moyenne)
Ch. 4 Torseur des efforts internes
3 – Diagramme des efforts internes
Diagramme des efforts internes
- Intérêt : visualisation rapide des poutres les plus sollicitées
Singularités des diagrammes
- Discontinuités
Discontinuité du diagramme ↔ Action ponctuelle correspondant à l’effort interne considéré
Exemple : discontinuité de Ty ↔ force ponctuelle selon y.
- Aux extrémités
On retrouve l’intensité des actions ponctuelles en projection dans le repère local
- Effort tranchant ↔ Moment fléchissant
variation des efforts internes
dx yy
- Etude d’un tronçon de longueur dx
Hypothèses :
x
• Tranche dx infiniment fine
GGx x+dx
• Pas d’actions ponctuelles (St Venant)
• Seulement des forces réparties : px(x), py(x) (supposées constantes sur dx)
Ty(x+dx)
p (x)
y-N(x)
Mf(x+dx)
p (x)
x
N(x+dx)
-Mf(x)
-Ty(x)
- Equilibre du tronçon dx dN
…
... ... ...
La réponse de la structure sous l’action de F1 est R1 (contrainte ou déplacement)
La réponse de la structure sous l’action de F2 est R2 (contrainte ou déplacement)
- La réponse de la structure sous l’action de F1+ F2 sera R1+ R2
- Conditions d’application
• Domaine élastique (pas de pertes d’énergie par frottement etc…)
• Domaine linéaire (proportionnalité force/déplacements)
• Forces extérieures indépendantes des déplacements (hypothèses de petites déformations).
• En bref : les hypothèses de la RDM !
5 – Notion de contrainte
Vecteur contrainte en un point
- Encore plus local…
Le torseur des efforts internes n’est qu’une vision globale au niveau de la section considérée.
Que se passe-t-il, localement, en chaque point de la poutre ?
• Soit, en M, une facette de surface élémentaire dS.
•
n : normale, en M, à la facette. (ici perpendiculaire à la ligne moyenne, mais peut être quelconque)
•
dF : effort élémentaire s’appliquant sur la facette.
- Définition
La densité surfacique d’effort s’appliquant sur la facette dS de normale
n est caractérisée par
le vecteur contrainte :
...
5 – Notion de contrainte
Vecteur contrainte en un point
- Remarques :
• Unité SI : Pascal, Pa. 1 Pa = 1 N/m² (comme la pression).
• Unité couramment utilisée : Mégapascal, MPa. 1 MPa = 1 N/mm².
n dépend à la fois du point M considéré et de l’orientation
n de la facette.
- Contraintes normales et tangentielles
Par projection, on définit :
• σ : contrainte normale.
.... ...
5 – Notion de contrainte
Intérêt pour la RDM
- Ces relations vont permettre de passer de l’échelle la plus globale (actions
extérieures à la structure) à une échelle très locale (cohésion de la matière)
- Afin de faire ce passage inverse (efforts internes contraintes), d’autres
hypothèses seront nécessaires
Hypothèses sur la répartition des contraintes dans les sections.
- Rappel :
Déterminer les contraintes au sein de la matière ↔ Vérifier la tenue mécanique
↔ But de la RDM
Critère de tenue mécanique : contraintes limites admissibles fonctions de σ et τ (dépend du
matériau).
Résistance des matériaux
Ch. 1 - Introduction à la RDM
Ch. 2 - Equilibre global des structures
?
Ch. 3 - Définitions et hypothèses de la RDM
Ch. 4 - Torseur des efforts internes
(ou de cohésion)
Ch. 5 - Les sollicitations simples
Ch. 5 Les sollicitations simples
1 - Introduction
Introduction
- Etude des sollicitations élémentaires pour identifier leurs conséquences
Traction / compression
Flexion
Torsion
• Le principe de superposition permettra de traiter des sollicitations composées
- Objectif : établir les relations effort interne contrainte / déformation
Répartition et valeur des contraintes dans les sections droites.
Déformée des poutres
- Sera abordée : première notion de comportement des matériaux « simples »
- Principe :
Définir les déformations
Définir / établir les hypothèses sur les contraintes
Etablir les relation contraintes / déformation puis déplacements à partir des lois de
comportement.
Ch. 5 Les sollicitations simples
1 – Traction / compression
Définition
- Une poutre est soumise à une sollicitation de traction/compression lorsque
... ... ...
1 – Traction / compression
Essai de traction, conclusion
- Loi de Hooke (matériau élastique linéaire isotrope)
Dans la zone élastique, on peut écrire une relation linéaire entre contrainte et déformation :
σ = E ε
E est le module d’Young, caractéristique du matériau
Unité SI : Pa
- Autre constat expérimental :
Déformation longitudinale ε Déformation transversale εt
La relation est linéaire ε = - ε
ν est le coefficient de Poisson, caractéristique du matériau
t
sans unité
Un m atériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par :
• Module d’Young E
• Coefficient de Poisson ν
• Limite d’élasticité définie par Re (ou Rp0.2) : σ < Re, élasticité ; σ > Re, plasticité
- Exemples…
1 – Traction / compression
Exemples de comportement
- Matériaux ductile/fragile
- Comportement élastique non linéaire
- Quelques ordre de grandeur :
Matériau
Module d’Young E (MPa)
Coefficient de Poisson (sans unité) Limite à rupture Ry (MPa)
Acier
210 000
0.3
450 à 1600
Aluminium
70 000
0.33
180 à 600
Diamant
1 000 000
0.1
Rupture 4 000 à 10 000
Pin (sens des fibres) 17 000
0.45
100
Béton
20 000 à 50 000
0.2
20 à 40 (compression)
2 à 5 (traction)
Fémur
17 000
Vertèbre lombaire
160
Remarque : Cas de poutres soumise à un couple longitudinal
Exemple : arbre de transmission
- Restriction importante
Dans cette partie de cours, on se restreindra à l’étude des poutres à section droite circulaire
Sinon, les sections droites ne restent pas planes, elle se gauchissent.
Déformation avec gauchissement
Déformation sans gauchissement
2 - Torsion
Déformation
- Observations expérimentales
Avec des sections droites circulaires (≠ prismatiques) :
• Rotation en bloc des sections droites :
pas de gauchissement, les sections restent planes et normales à la ligne moyenne ;
pas de déformation longitudinale, les sections gardent des distances relatives constantes ;
• Angle variant linéairement le long de la poutre (si couple constant)
2 - Torsion
Déformation
- Isolons un tronçon dx de poutre
φ est l’angle de rotation entre 2 sections.
•
γ est la distorsion qui en découle sur une surface cylindrique.
γ est une quantité locale dépendant du point dans la section.
γ est l’analogue de la déformation εx en traction,
τ est l’analogue de la contrainte σx en traction.
On dit que la surface cylindrique est « cisaillée »
2 - Torsion
Essai de torsion
τ A
- Similarité forte avec un essai de traction
Les courbes de cisaillement τ = f(γ) ont la même
allure que les courbes de traction
- En zone élastique, la loi de Hooke en cisaillement est :
= G
G est le module de cisaillement, caractéristique du matériau
Unité : Pa
- Remarques :
• G n’est pas un nouveau coefficient matériau. On peut montrer (cours d’élasticité) que :
• De la même façon qu’en traction, il existe une limite de glissement au-delà de laquelle les
déformations sont irréversibles
...
2 - Torsion
Contrainte tangentielle de torsion
- La relation contrainte / déformation est alors :
Il y a variation linéaire (en fonction du rayon) des contraintes dans la section
On parle de contrainte de cisaillement « tangentielle » ou « orthoradiale ».
2 - Torsion
Relation contrainte / moment de torsion
- Il a été établi (cf. ch. 4) : Mtx .y - .z dS , soit Mt x .rdS
Rotation élémentaire d’un
Contraintes de cisaillement
Moment quadratique polaire
tronçon dx par rapport
orthoradiale dûe à Mt
de la section droite S à l’axe (G,x)
- Remarques
• Vous devez reconnaître une certaine familiarité avec IG(S) (cf. cours sur géométrie des masses)
• Pour une section circulaire pleine :
- On retrouve l’intuition (et les constats expérimentaux) :
• Les fibres à y > 0 se raccourcissent, elles sont comprimées εx < 0.
Les fibres à y < 0 s’allongent, elles sont tendues εx > 0.
La fibre neutre ne subit pas de contraintes normales.
• Les variations de longueur entre fibres entraînent aussi des glissements cisaillement
3 - Flexion
Etudes des contraintes normales
- Expression de la contrainte normale en flexion pure :
Remarques :
- compression
• Répartition linéaire des contraintes normales dans la section droite
• Tension / compression de part et d’autre de la ligne moyenne σx traction +
3 - Flexion
Etudes des contraintes normales
- Relation avec le moment fléchissant :
On introduit les relations précédentes dans la relation générale Mfz = f(σx)