Cours sur l’estimation statistique de la fiabilite par les essais
Cours sur l’estimation statistique de la fiabilité par les essais
Plus les caractéristiques d’un produit ou d’un système sont appréhendées tôt dans son cycle de vie, moins les risques financiers ou reliés à la sûreté des installations dus à la non réalisation des performances attendues sont élevés. Dans un contexte d’exigences de systèmes de plus en plus fiables et sûrs, et de durées de garanties croissantes, il est impératif de vérifier le plus tôt possible que les performances des systèmes sont conformes au cahier des charges.
L’idéal, pour identifier la fiabilité du produit ou système avant même sa fabrication en série, est de procéder de façon classique à des séries d’essais sur des prototypes quand ils existent. Le problème est l’investissement en temps et en quantité de matériel important demandé car les matériels étant de plus en plus fiables, l’observation de défaillances est de moins en moins probable. Les industriels ne peuvent plus se permettre de tels coûts financiers. A l’extrême, certains systèmes se fabriquent à l’unité, ce qui rend les politiques d’essai difficiles.
Ainsi, cette problématique a été la source, pour la commuanuté scientifique, de nombreuses voies de recherche. Celles-ci sont basées principalement sur la modélisation stochastique des apparitions des défaillances au cours du temps et sur l’estimation statistique des paramètres des modèles à partir des résultats d’essai. Les premiers travaux ont consisté à étudier les essais réalisés en conditions nominales (on reproduit les conditions normale d’utilisation du produit), provoquant des temps d’essai importants, et avec des tailles d’échantillon élevées. Par la suite des travaux ont été menés pour réduire les tailles d’échantillon et temps d’essai :
– P. Sander, R. Badoux , H. | Procaccia, C. Clarotti, A. Lannoy, J. Ringler, ... | |
([Sander and Badoux, 1991], | [Procaccia et al., 1992], | [Procaccia and Morilhat, 1996], |
[Clarotti, 1998], [Ringler, 1979], | [Lannoy and Procaccia, 1994])ont proposé d’intégrer toute |
la connaissance disponible sur la fiabilité des systèmes testés dans les plans d’essais, à l’aide des statistiques bayésiennes, permettant de réduire le nombre de produits à tester.
– W. Nelson, E. Elsayed, O’Connor, H. Caruso, Kececioglu, P. Hoang, V. Bagdonavicius, M. Nikulin, ... ([Nelson, 1990], [Shyur et al., 1999],[O’Connor, 2003], [Caruso and Dasgupta, 1998], [kececioglu, 1944], [Hoang, 2003], [kececioglu, 1944], [Bagdonavicius and Nikulin, 2002], ...)
ont proposé d’utiliser les essais accélérés (sévérisation des conditions d’essai permettant de provo-
quer les défaillances plus rapidement) pour estimer la fiabilité d’un produit et les essais bayésiens Ainsi, les travaux de l’équipe "Sûreté de fonctionnement des systèmes" du LAboratoire en Sûreté defonctionnement, QUalité et Organisation (LASQUO, UPRES EA 3858) s’inscrivent dans cette probléma-tique. C’est Bernard Dumon qui initia les travaux sur l’estimation de la fiabilité et plus particulièrement par les techniques bayésiennes. J’ai été recruté, en 1994, pour conforter cette équipe.
Ce document a donc pour objectif de rappeler une partie des travaux au cours des dix années passées. Par souci d’homogénéité je ne parlerai que des résultats relatifs à l’estimation de fiabilité par les essais,
CHAPITRE 1 — Problématique de l’estimation de la fiabilité par les essais qui constituent le dénominateur commun aux quatre thèses que j’ai dirigées ou qui sont en cours.
Ce document porte essentiellement sur l’estimation de la fiabilité par les essais en étudiant différentes techniques d’essais et plus particulièrement appliquées aux systèmes mécaniques.
Il est organisé de la manière suivante :
² Le second chapitre rappelle brièvement les définitions de quelques indicateurs de fiabilitéqui seront utilisés dans la suite du document ([Villemeur, 1988], [Cocozza-Thivent, 1997], [Pages and Gondran, 1980], [Afnor, 1988]).
² Le troisième présente rapidement les différentes techniques d’essai de fiabilité en les situant dans le cycle de développement d’un produit ([Nelson, 1990], [Crowe and Feinberg, 2001], [ASTE, 1993], [O’Connor, 2003], [Ligeron and et M. Neff, 1984]).
² Le quatrième présente l’analyse statistique des résultats d’essai aggravé et plus particulièrement des essais HALT.1 ([Crowe and Feinberg, 2001], [McLean, 2000], [kececioglu and Sun, 1999])
² Le cinquième présente les essais bayésiens permettant de réduire le nombre de produits à tester ([ASTE, 1993], [Marts and Walter, 1982], [Sander and Badoux, 1991]). Au cours de ce chapitre, nous traiterons deux aspects :
- la définition de la distribution a priori permettant de capitaliser toute l’information dispo-nible sur le système. Nous proposons de construire cette distribution à partir d’avis d’expert ([Cooke, 1991], [Lannoy and Procaccia, 2001]) et des études de Sûreté de fonctionnememnt ef-fectuées sur le produit ([Guerin et al., 2003b], ).
- la vérication de la compatibilité de l’a priori avec la vraisemblance et pondération
([Usureau et al., 2004], [Guerin et al., 2004b]) donnant une méthodologie de comparaison entre ces deux distributions afin de vérifier la cohérence des résulats d’essai avec l’ a priori et de pondérer celle-ci en fonction du degré de compatibilité.
² Le sixième présente les essais accélérés permettant de précipiter plus rapidement les défaillances
et ainsi réduire les temps d’essai. Nous avons traité différents plans d’essai :
- le | plan | d’essai | par | régression ([Nelson, 1990], | [Bagdonavicius et al., 2000], |
[Tebbi et al., 2004b], | [Vassilious and Mettas, 2001]) permettant | de déduire la loi de fiabi- |
lité dans les conditions nominales à partir uniquement des résultats d’essais réalisés dans des conditions sévérisées.
- le plan d’essai avec endommagement accéléré préalable([Bagdonavicius et al., 2000],[Tebbi et al., 2004b], [Tebbi et al., 2004c]) consistant à réaliser un essai où le début se fait dans les conditions sévérisées afin de consommer rapidement le potentiel de durée de vie des produits
testés et de finir l’essai sous conditions nominales pour y précipiter les défaillances.
- le plan d’essai en contraintes échelonnées ([Nelson, 1990], [Hoang, 2003],[Guerin et al., 2004d]) permettant de réaliser un essai au cours duquel le stress de sévéri-sation augmente par palier.
- le plan d’essai avec réparation ([Guida and Giorgio, 1995], [Guerin and Dumon, 2004b])consistant à réparer les produits défaillants lors d’un test et de les réintroduire dans la cam-pagne d’essai.
CHAPITRE 2
Introduction à la fiabilité
Dans ce chapitre, nous allons rappeler les éléments de base sur la fiabilité nécessaire pour comprendre
les chapitres suivants. Le lecteur peut trouver plus de détails dans les ouvrages suivants : [Procaccia et al., 1992], [Ayyub and Mccuen, 1997], [Hoang, 2003], [Birolini, 1997], [Villemeur, 1988], [Pages and Gondran, 1980], [Afnor, 1988].
2.1Mesure des performances
On considère un matériel (une carte électronique, un moteur, une voiture, un avion, ...) pouvant se trouver dans différents états. Cet ensemble d’états, notéE, se décompose en deux sous ensembles formant une partition : le sous-ensemble M des états de marche et le sous-ensembleD des états de défaillance. La "qualité" du matériel, du point de vue de la fiabilité, est donnée par un certain nombre d’indicateurs ou mesure de la performance que nous allons citer.
La fiabilité, ou fonction de survie, est définie comme " l’aptitude d’une entité à accomplir une fonction requise, dans des conditions données, pendant un intervalle de temps donné ".
Par extension, on appelle également fiabilité, la probabilité associéeR(t) définie par :
R(t)= Prob(qu’une entité E soit non défaillante sur la durée [0t;], en supposant qu’elle n’est pasdéfaillante à l’instant t = 0)
La caractéristique contraire est appelée probabilité de défaillance du système (ou défiabilité). Elle est telle que :
R(t) = 1 ¡ R(t) | (2.1) |
La Figure 2.1 ci-dessous présente une allure de la fonction R(t) en fonction du temps.
Figure 2.1 – Courbe de survie ou de fiabilité
Il est également possible de donner une estimation intuitive de la fiabilitéR(t) riels identiques en fonctionnement et non réparés après défaillance. En effet, en le nombre de matériels encore non défaillants à l’instantt, alors la valeur d’un parc de N maté-considérant quen(t) est
…
Pour compléter l’approche théorique de la notion de fiabilité, il est nécessaire de définir aussi les notions suivantes, qui sont dérivées de la théorie des probabilités. La fonctionF(t) = R(t) = 1 ¡R(t) représente la fonction de répartition de la variable aléatoireT (instant de défaillance). De même, la densité de probabilité deT est donnée par :
f(t) =dFdt(t)= ¡dRdt(t)
Ainsi, lors d’une approche expérimentale (voir [Birolini, 1997]),
F(t) = N ¡ n(t)
N
et
F (t)et f(t)ont les valeurs suivantes :
Une autre grandeur est aussi associée à la fiabilité, c’est le temps moyen de fonctionnement jusqu’à la première défaillance, noté M.T.T.F. (" Mean Time To Failure "). Cette notion permet notamment de visualiser plus concrètement la fiabilité d’un matériel. Elle s’exprime par :
MT T F = | Z1 t ¢ f(t) ¢ dt = ¡ | Z | 1 t ¢ dt | ¢ dt |
soit
M T T F =Z1 t ¢ f(t) ¢ dt =Z1 R(t) ¢ dt ¡ [t ¢ R(t)]1
Enfin, dans le cas particulier où l’étude porte sur des matériels fonctionnant à la sollicitation (démar-reur, air-bag, interrupteur, munition), la mesure de la Fiabilité est assimilée à la probabilité que le matériel fonctionne au moment de sa sollicitation. En pratique, on mesure plutôt la probabilité de défaillance à la sollicitation, notéep = 1-R.
Cette probabilité est définie par
avec
– N : nombre de matériels testés
– k : nombre de matériels n’ayant pas fonctionné à la sollicitation
– p : probabilité de défaillance à la sollicitation
La défaillance à la sollicitation correspond au fait que le matériel testé refuse de changer d’état
lorsqu’on le lui demande : marche-arrêt, ouverture-fermeture, mise à feu, ...
2.2Fiabilité et taux de défaillance instantané
Il est aussi possible de définir la notion de taux instantané de défaillance au tempst, notée¸(t). La valeur ¸(t)dt représente la probabilité d’avoir une défaillance dans l’intervalle de tempst [; t + dt], sachant qu’il n’y a pas eu de défaillance dans l’intervalle de temps [0 ;t].
Ainsi, en appliquant le théorème des probabilités conditionnelles, puis le théorème des probabilités totale, ¸(t) s’écrit
¸(t)¢dt= P rob(def¶ aillant sur [t; t + dt] sans def¶ aillance sur [0; t]) P rob(non def¶ aillant sur [0; t])
¸(t) ¢ dt =
soit finalement
P rob(def¶ aillant sur [0; t + dt]) ¡ P rob(def¶ aillant sur [0; t]) P rob(non def¶ aillant sur [0; t])
f(t) 1 dR(t) | ||
¸(t) = | = ¡ R(t) ¢ dt | |
R(t) |
Il est fréquent de représenter l’évolution du taux de défaillance¸(t) au cours du temps t selon une courbe caractéristique dite en "baignoire" (voir figure 2.2).
Figure 2.2 – Courbe en baignoire
Cette courbe se décompose en trois parties :
– la première concerne les défaillances précoces dues à des problèmes de conception (mauvais di-mensionnement d’un composant, ...) ou de production (dérive d’un process de fabrication, ...),
– la deuxième partie, pouvant être plus ou moins importante selon le type de matériel (plus pour l’électronique et moins pour la mécanique et l’électromécanique), est caractéristique des défaillances aléatoires,
– la troisième partie correspond aux défaillances dues à des phénomènes d’usure, de vieillissement,
...
2.3 Les principales lois de fiabilité
Nous présentons dans cette section quelques distributions de vie qui interviennent le plus fréquem-ment dans l’analyse de la fiabilité. Nous énoncerons les principales propriétés de ces lois, les fonctions de survie (Fiabilité) associées ainsi que les taux de défaillance.
2.3.1 Loi exponentielle
Cette loi a de nombreuses applications dans plusieurs domaines. C’est une loi simple, très utilisée en fiabilité dont le taux de défaillance est constant. Elle décrit la vie des matériels qui subissent des défaillances brutales.
La fonction de survie d’une loi exponentielle de paramètreµ est :
R(t) = e¡ | t | (2.9) |
µ |
Par conséquent le taux de défaillance est :
2.3.2Loi de Weibull
La plus populaire des lois, souvent utilisée aussi bien en électronique qu’en mécanique ; elle caracté-rise mieux le comportement du produit dans les trois phases de vie : période de jeunesse, période de vie utile et période d’usure ou vieillissement.
La fonction de survie d’une loi de Weibull de paramètres´ et ¯ est :
2.3.3Loi normale
La loi normale est très répandue parmi les lois de probabilité car elle s’applique à de nombreux phénomènes. La fonction de densité est définie par la moyenne¹ et l’écart type¾ :…
Si t suit une loi normale Normale(¹, ¾), u = t¡¾¹ suit une loi normale centrée réduite dont la fonction
de répartition, notéeÁ, est donnée par : |
Á(u) = p2¼Z¡1 e¡ ¢x dx |
2.3.4Loi lognormale
Une variable aléatoire continue et positive t est distribuée selon une loi lognormale si son loga-rithme est distribué suivant une loi normale. Cette distribution est utilisée en fiabilité pour modéliser les défaillance par fatigue. La fonction de survie d’une loi lognormale de paramètres¹ et ¾ est :
…
2.3.5 Loi Gamma
Elle représente la loi de probabilité d’occurence de® événements dans un processus poissonien. Par exemple si ti est le temps entre les défaillances successives d’un système, et queti suive une distribu-tion exponentielle, le temps cumulé d’apparition de® défaillances suit une loi Gamma de densité de probabilité : ….
2.3.6 Loi binômiale
La loi binômiale s’applique pour décrire des phénomènes ayant des occurences s’excluant mutuelle-ment (états de fonctionnement ou de défaillance). Cette loi décrira principalement les systèmes utilisés à la sollicitation comme les munitions, les air-bag, ... La variable aléatoire correspondant au nombre d’échecsk à la sollicitation observables sur un échantillon testé, de taillen, en fonction de la proba-bilité de réalisation de cette occurrencep (soit la fiabilité ou la probabilité de défaillance), suit une loi binômiale :
f(k=p) = Cnkpk ¢ (1 ¡ p)n¡k | (2.21) |
2.3.7 Loi beta
Cette loi représente, en particulier, la probabilité pour qu’un matériel survive jusqu’à un instant, quand on essaie n matériels. D’où son intérêt dans l’évaluation de la durée des essais de fiabilité. La fonction de densité est définie par :
f(x) = | ¡(a + b) | xa¡1 | ¢ (1 ¡ x)b¡1 | ||
¡(a) | ¢ | ¡(b) |
où a et b sont les parmètres de distribution.
3.1Les essais dans le cycle de fiabilisation d’un produit
La fiabilisation d’un produit au cours de son cycle de vie de développement fait appel à de nom-breuses phases dans lesquelles on utilise divers méthodes et outils (voir Figure3.1).
Figure 3.1 – Position des essais dans le cycle de développement d’un produit
Pour synthétiser (voir [Villemeur, 1988], [Pages and Gondran, 1980], [Birolini, 1997], [Afnor, 1988], [Ligeron and et M. Neff, 1984], [ASTE, 1993]), on peut distinguer trois grandes phases :
- Estimation prévisionnelle de la fiabilité: cette phase consiste dès le début du projet à étudierla fiabilité à travers des analyses qualitatives (APR 1, AMDEC2, ...) et quantitatives (Arbre de défaillance, Diagramme de fiabilité, ...). Pour des systèmes plus complexes, il est possible de mo-déliser la fiabilité par des réseaux de Petri (RdP) ou chaînes de Markov.
- Estimation expérimentale de la fiabilité: dès que le développement du produit est suffisam-ment avancé et que l’on dispose des premiers prototypes, il est possible de réaliser des essais de robustesse (appelés également essais aggravés) afin de connaître les faiblesses et les marges de conception. Une fois que le produit est mature (marges suffisantes), une campagne d’essai peut être menée pour estimer la fiabilité. Pour finir, lors de la production, l’élimination des défauts de jeunesse (dérive process, composant faible, ...) est opérée par un essai de déverminage.
- Estimation opérationnelle de la fiabilité: une fois que le produit est en exploitation, une estima-tion de la fiabilité est réalisée à partir des données de retour d’expériences (REX).
L’ensemble des essais de fiabilité (robustesse, estimation et déverminage) contribue largement à la croissance de la fiabilité du produit au cours de son développement et de sa production (voir Figure3.2).
Figure 3.2 – Croissance de la fiabilité au cours du développement d’un produit
Les dernières techniques d’essais développées consistent à accélérer cette croissance de fiabilité par l’utilisation d’essais accélérés[Crowe and Feinberg, 2001]. Ainsi, on peut citer :
– essais de robustesse : les essais HALT (Highly Accelerated Life Test)
– essais d’estimation : les essais accélérés ALTAccelerated( Life Test)
– essais de déverminage : les essais HASS (HighlyAccelerated Stress Screen)
Dans la suite, nous détaillons les objectifs des différents types d’essai.
3.2Les essais aggravés ou de robustesse
Ces essais sont utilisés en phase de conception dans le but d’aboutir à un produit mature en mettant en évidence un certain nombre de faiblesses pour lesquelles on apporte des corrections afin de les élimi-ner pour augmenter la fiabilité (voir Figure 3.3).
Table des matières
Notations 1
Acronymes 3
Table des matières 5
1 Problématique de l’estimation de la fiabilité par les essais 9
2 Introduction à la fiabilité 11
2.1 Mesure des performances . . . ....... 11
2.2 Fiabilité et taux de défaillance instantané ..... . . . . . 13
2.3 Les principales lois de fiabilité ....... 14
2.3.1 Loi exponentielle ....... . . . 14
2.3.2 Loi de Weibull ....... . . . . 15
2.3.3 Loi normale ....... . . . . . . 15
2.3.4 Loi lognormale ....... . . . . 15
2.3.5 Loi Gamma ....... . . . . . . 16
2.3.6 Loi binômiale ....... . . . . . 16
2.3.7 Loi beta ....... . . . . . . . . 16
3 Les différents essais utilisés en fiabilité 17
3.1 Les essais dans le cycle de fiabilisation d’un produit ....17
3.2 Les essais aggravés ou de robustesse ..... . . . . . . . 18
3.3 Les essais d’estimation de la fiabilité ..... . . . . . . . 20
3.3.1 Les essais de détermination ..... . . . . . . . 21
3.3.2 Les essais de démonstration ..... . . . . . . . 22
3.4 Déverminage ........22
3.5 Conclusions ......... 23
4 Estimation de la robustesse par les essais aggravés 25
4.1 Introduction ......... 25
4.2 Analyse statistique des essais HALT ..... . . . . . . . 26
4.3 Définition des limites statistiques de zone ..... . . . . 26
4.3.1 Limites opérationnelles dans le cas de la température ... . . . . 26
4.3.2 Limite opérationnelle dans le cas de la vibration ... . . . . . . . 27
4.3.3 Limites de destruction dans le cas de la température ... . . . . . 28
4.3.4 Limite de destruction dans le cas de la vibration ... . . . . . . . 29
4.4 Définition des marges ....... . . . . . 30
4.5 Définition des niveaux de stress pour le déverminage de type HASS ... 32
4.5.1 Exemple simulé ....... . . . . 33
4.6 Conclusion ......... 36
5 Estimation de la fiabilité par les essais bayésiens 37
5.1 Introduction ......... 37
5.2 Rappel du principe bayésien ....... . 37
5.3 Application de l’approche bayésienne à la fiabilité des matériels à mortalité exponentielle 39
5.3.1 Définition de la vraisemblance ..... . . . . . . 39
5.3.2 Définition de la connaissance a priori ..... . . 39
5.3.3 Exemple d’application ....... 40
5.4 Application de l’approche bayésienne à la fiabilité des matériels à mortalité binômiale . . 41
5.4.1 Définition de la vraisemblance ..... . . . . . . 41
5.4.2 Définition de la connaissance a priori ..... . . 41
5.4.3 Exemple d’application ....... 43
5.5 Application de l’approche bayésienne à la fiabilité des matériels à mortalité normale ou lognormale ......... 44
5.5.1 Définition de la vraisemblance ..... . . . . . . 44
5.5.2 Définition de la connaissance a priori ..... . . 44
5.5.3 Détermination des estimateurs bayésiens ..... 46
5.5.4 Exemple d’application ....... 47
5.6 Modélisation de la connaissance a priori issue d’avis d’experts ... . . . 50
5.6.1 Cas des systèmes à mortalité exponentielle ....51
5.6.2 Cas des systèmes à mortalité binômiale ..... . 52
5.6.3 Cas des systèmes à mortalité normale ou lognormale ... . . . . 54
5.7 Modélisation de la connaissance a priori issue de l’expertise à partir de l’étude sûreté de fonctionnement ....... . . . . . . . . 55
5.7.1 Modèles d’architecture de système ..... . . . . 55
5.7.2 Modélisation de la connaissance a priori ..... . 57
5.7.3 Exemple : Evénement indésirable défini par un arbre de défaillances . . . . . . . 60
5.8 Vérification de la compatibilité de l’a priori avec la vraisemblance et pondération . . . . 63
5.8.1 Problématique ....... . . . . 63
5.8.2 Objectifs d’un facteur de pondération normalisé K ... . . . . . 63
5.8.3 Principe de calcul d’un facteur de pondération normalisé K ... 65
5.8.4 Calcul pratique du facteur K ..... . . . . . . . 66
5.8.5 Utilisation du facteur de pondération K comme facteur de pondération de l’a priori 68
5.8.6 Interprétation de la pondération par le facteur de pondération K . . . . . . . . . 72
5.8.7 Exemples d’application - comparaison avec les essais classiques et bayésiens pondérés ou non ....... . . . 73
5.9 Conclusion ......... 75
6 Estimation de la fiabilité par les essais accélérés 77
6.1 Définition d’un plan d’essai accéléré ..... . . . . . . . 77
6.1.1 Profils de stress utilisés ....... 78
6.1.2 Types de stress utilisés ....... 80
6.1.3 Modèles de vie accélérée ......80
6.2 Modèle standard de vie accélérée ......81
6.3 Application des modèles SVA à la mécanique ..... . . 83
6.3.1 Introduction ....... . . . . . . 83
6.3.2 Rappel sur l’endommagement par fatigue ..... 84
TABLE DES MATIÈRES 7
6.3.3 Etude des SVA en mécanique ..... . . . . . . 88
6.3.4 Définition d’un modèle de simulation ..... . . 90
6.4 Plan d’essai accéléré par régression ..... . . . . . . . 92
6.4.1 Définition du plan d’essai ..... . . . . . . . . 92
6.4.2 Application des SVA paramétriques ..... . . . 92
6.4.3 Application des SVA semi paramétriques à la fatigue ... . . . . 93
6.4.4 Application des SVA non paramétriques ..... . 94
6.4.5 Exemple par simulation d’un essai de fatigue ... . . . . . . . . 95
6.5 Plan d’essai avec endommagement préalable accéléré ... . . . . . . . . 101
6.5.1 Définition du plan d’essai ..... . . . . . . . . 101
6.5.2 Application du modèle SVA paramétrique ..... 103
6.5.3 Application du modèle SVA non paramétrique ... . . . . . . . 104
6.5.4 Exemple par simulation ......105
6.6 Plan d’essai en contraintes échelonnées ..... . . . . . 107
6.6.1 introduction ....... . . . . . . 107
6.6.2 Définition du plan d’essai ..... . . . . . . . . 108
6.6.3 Application du modèle SVA paramétrique en contraintes échelonnées à la fatigue 108
6.6.4 Exemple numérique : ....... . 109
6.6.5 Conclusion ....... . . . . . . 111
6.7 Plan d’essai avec réparation ....... . . 111
6.7.1 Rappels sur les plans d’essais avec réparation ... . . . . . . . . 111
6.7.2 Modèles de vie accélérée de systèmes réparables ... . . . . . . 113
6.7.3 Conclusion ....... . . . . . . 118
6.8 Synthèse ......... . . 118
7 Conclusions et Perspectives 121
Bibliographie 123
A 131
A.1 Modèle d’Arrhenius ....... . . . . . . 131
A.2 Modèle de Peck ....... . . . . . . . . 131
A.3 Modèle de puissance inverse ....... . 131
A.4 Modèle d’Eyring ....... . . . . . . . 132
A.5 Conjuguée de la loi normale sans connaissance ..... . 132
A.6 Définition de la distribution a posteriori de la loi normale avec connaissance . . . . . . . 134
A.7 Moyenne et variance pour différentes distributions ..... 136
B 137
B.1 Reliability estimation by Bayesian method : definition of prior distribution using dependability study ........137
B.2 Estimation de la fiabilité par les essais accélérés ..... . 137
B.3 Applying accelerated life models to HALT testing..... 137