Formation avancee sur les arithmétiques commerciale
Formation avancée sur les arithmétiques commerciale
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1.2. Définition
Deux grandeurs qui varient simultanément sont directement proportionnelles quand le rapport des mesures correspondantes est constant.
II.2. Grandeurs inversement proportionnelles
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque l’une devenant un certain nombre de fois plus grande ( ou plus petite ) , l’autre devient le même nombre de fois plus petite ( ou plus grande ).
Exemple :
La vitesse d’un véhicule et la durée du parcours.
III PARTAGES POPORTIONNELS
Partager une somme proportionnellement aux nombre a, b, c c’est effectuer un partage proportionnel à a, b, c.
Selon que a, b, c appartiennent à une seule grandeur ou à plusieurs grandeurs ,le partage est simple ou le partage est dit composé.
III.1 Partages directement proportionnels
1.1. Principe :
Les parts forment avec les nombres donnés une suite de rapports égaux. 1.2. Règle :
Pour partager une somme en parties directement proportionnelles à des nombres Donnés :
b On divise cette somme par le total des nombres donnés et on multiplie le quotient successivement par chacun d’eux.
Si le partage a lieu proportionnellement à des fractions, on réduit celles-ci au même dénominateur et on effectue le partage proportionnellement aux numérateurs.
Exemple :
Partager une prime de fin d’année de 22 478 DH proportionnellement aux années de service de 3 employés : 6ans, 12 ans et 14 ans 6+12+14=32
b Part du premier : 32 x22478 = 4214.63
b Part du second : i2 x22478 = 8429.25
b Part du troisième : i4 x22478 = 9834.1 2
III.2 Partages Inversement Proportionnels 2.1. Principe :
Les parts forment avec les inverses des nombres donnés une suite de rapports égaux.
2.2. Règle :
Pour partager une somme en parties inversement proportionnelles à des nombre donnés : Ö On la partage en parties directement proportionnelles aux inverses de ces nombres .
Exemple :
Une gratification de 14 000 DH est à partager entre les trois membres d’une équipe en parties inversement proportionnelles au nombre d’heures de travail nécessaires pour l’exécution d’une tâche donnée, ils ont effectué chacun et qui sont respectivement :
63 H , 72 H et 80 H.
Les parts sont directement proportionnelles à :
63 ; 72 ; 80
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LES POURCENTAGES
- Définition
On appelle pourcentage (ou tant pour cent) le rapport constant de deux grandeurs proportionnelles quand la mesure de la seconde est 100. C’est donc un rapport dont le dénominateur est 100.
Du point de vue mathématique, on a deux cas distincts :
- Soit le pourcentage s’applique à une quantité connue, on l’appelle alors pourcentage direct ;
- Soit le pourcentage s’applique à une quantité inconnue, on l’appelle, dans ce cas, pourcentage indirect.
I.1. Pourcentage direct Exemple :
Un commerçant achète un article au prix de 9 000 DH. Il désire réaliser un bénéfice de 20% sur le prix d’achat. Quel sera alors son bénéfice ?
Bénéfice = 9000x20
100
Cette expression peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
Bénéfice = 9000x → Bénéfice =1800DH
100
Plus généralement, une quantité représentée par un pourcentage de x% applicable à une quantité connue P, se calcule comme suit :
P= x 100
I.2. Pourcentage indirect
Exemple
Un commerçant achète une marchandise à 24 000 DH et désire réaliser un bénéfice de 25% sur le prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bénéfice ?
Le bénéfice (B)= 25 chaque fois que le PV = 100 et par voie de conséquence, le prix d’achat (PA)sera égal à 100 – 25 = 75
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II Application des pourcentages aux réductions sur le prix
En général, le commerçant accorde à ses clients une réduction de a% calculée sur le prix de vente public appelé aussi :
- Prix de vente -catalogue (PVC) - Prix de vente brut (PVB)
- Prix de vente marqué (PVM)
II.1. Calcul du PVC en fonction du PV
Le point de départ est le PVC Le point d’arrivée est le PV
Exemple : un commerçant qui accorde deux remises 10% et 8%.
On commence par poser l’élément à calculer (point de départ) et on termine par l’élément connu(point d’arrivée)
II.2. Calcul du PV en fonction du PVC
Point de départ : PV→ à calculer Point d’arrivée : PVC→ connu
PV - 100-b x 100- a xPVC qu'on peut écrire sous la forme suivante
100 100
100~a 100~
PV ~ x
100 100 b xPVC
II.3. Coefficient multiplicateur et taux de bénéfice
Le coefficient multiplicateur est le nombre qui permet de passer da la quantité connue à la quantité inconnue par une seule multiplication.
Exemples :
- Passer du prix d’achat (PA) au prix de vente net(PV).
- Passer du coût de revient (CR) au prix de vente à la clientèle (PVC)
III Application des pourcentages aux réductions sur le poids le poids total d’une marchandise est nommé poids brut, on distingue plusieurs réductions sur le poids :
- La tare : c’est une réduction sur le poids de l’emballage.
- La surtare : c’est une réduction pour emballage supplémentaire.
- Le don : c’est une réduction accordée pour altération naturelle de la marchandise.
- La réfaction : réduction accordée pour avaries dans la livraison.
Les réductions sur le poids se calculent également en cascade.
Exemple :
Le poids brut d’une marchandise est de 5 200 kg, la tare est de 2%, le don 3% et la réfaction 1.5% ; calculer le poids net facturé ?
Poids brut 5 200 kg
Tare : 2% de 5200 104 kg
Ne t1 5096 kg
Don : 3% de 5 096 152.88 kg
Ne t2 4 943.12 kg
Réfaction : 1.5% de 4 943.12 74.15 kg
Poids net facturé 4 868.97 kg
IV ApplIcation des pourcentages en matière de TVA
IV.1 Calcul de la TVA
La TVA se calcule sur le prix de vente hors taxe (HT).
Elle s’ajoute à ce prix pour obtenir le prix de vente toutes taxes comprises (TTC). Soit :
t : le taux de la TVA.
PH T : le prix hors taxe.
PTTC : le prix toutes taxes comprises. ƒ TVA : le montant de la TVA.
TVA= PHTxt
100
IV.2 Calcul du PTTC et du PHT
PTTC = PHT+TVA
PTTC = PHT+ 100
PHTxt
PTTC = PHT x ( 1+100 t)
PHT = PTTC x
Exemple :
Un commerçant vend des marchandises toutes taxes comprises à 19 560 DH.
Déterminer le prix de vente hors taxe et la montant de la TVA ?
- Calcul du PHT
- Calcul de la TVA TVA = PTTC – PHT
TVA= 19 560 – 16 300= 3 260 DH.
LES INTERETS SIMPLES
- Généralités
I.1. notion d’intérêt
L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent. Chaque fois qu’une personne prête une certaine somme , elle se prive pendant toute la période du prêt de la possibilité d’employer elle-même son argent et rend service à son débiteur qui pourra , par exemple, l’utiliser pour financer des investissements rentables. Il est donc normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération.
I.2. définition d’intérêt simple
Lorsque la durée du prêt est de quelques mois, on convient en général que l’intérêt sera payé en une seule fois, soit lors de la remise du prêt, soit lors de son remboursement. Quand le prêt (ou le placement) est fait à intérêts simples), les intérêts dus à la fin de chaque période choisie comme unité de temps(trimestre, semestre ou année) sont calculés sur la capital initial : ils ne sont pas capitalisés pour le calcul des intérêts de la période suivante.
Le montant de l’intérêt dépend de l’importance du capital prêté et de la durée du prêt. En principe l’intérêt est proportionnel au capital prêté et croit avec la durée.
- Formule fondamentale de l’intérêt simple
A la fin de chaque période, les intérêts ne sont capitalisés pour le calcul des intérêts de la période suivants. L’intérêt dépend du capital placé, du taux d’intérêt et la durée du prêt.
Soit :
- C : le capital prêté
- t : le taux d’intérêt (
- n : la durée du prêt évaluée en fonction de la période retenue pour l’application du taux.
- I : l’intérêt global produit
I= C x t x n
Généralement, le taux indiqué dans le contrat est un taux annuel pour 100 DH et la durée de placement est exprimé en jours(en prenant en considération une année commerciale de 360 jours). Dans ce cas l’intérêt est :
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IV.2. La valeur acquise
On appelle valeur acquise par un capital placé pendant un certain temps, la valeur du capital augmentée des intérêts à la fin de la période de placement.
Soit V : la valeur acquise par le capital à la fin de la période du placement
V= C + I
Exemple 1 :
Quelle est la valeur acquise par un capital de 120 000 DH placé à 12.5 % pendant
126 jours ?
I = 120 000 x 12.5 x 126 / 36 000 = 5 250
V = 120 000 + 5 250 = 125 250 DH
Exemple 2 :
Quel est le capital qui placé à 9% est devenu 281 231 DH au bout de 2 ans 3 mois et 18 jours ?
2 ans 3 mois et 18 jours = 720+90+18=828 jours
Une somme placée à 9% rapporte 9/100 de sa valeur en 1 an.
En 828 jours, elle rapporte 1000
9 x =
828 207 100 1000
Elle est devenue 1 + 1000
207 = de ce qu’elle était primitivement
1000
Le capital était donc :
C=281231: = 1207 x = 1000
281231 233000 DH
1000 1207
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IV.3. Calcul de la durée
De la formule générale 36000
I = on tire Cxt
n 36000
Cxtxn = Ix
Exemple 1 :
Pendant combien de temps un capital de 45 000 doit-il être placé à 11.5% pour générer 805 DH d’intérêts ?
n= 805x36000 =56 jours
45000x1 1. 5
Le principe consiste à calculer le nombre de jours qui séparent la date de placement et la date du retrait, en négligeant la date du dépôt et en comptant le jour du retrait.
Les mois sont retenus pour leur durée réelle, même si l’année est ramenée à 360 jours.
Exemple 2 :
Quelle est la durée de placement d’un capital ,sachant que ce placement a été effectué du 18 novembre 2002 au 27 octobre 2003 ?
IV.4. Calcul du taux d’intérêt
Dans la pratique, on détermine un placement en indiquant l’intérêt qui est rapporté par un capital de 100 DH en un an, cet intérêt porte le nom de taux d’intérêt. Le taux d’intérêt peut dépendre de plusieurs facteurs :
- loi de l'offre et de la demande des capitaux disponibles ;
- degré de confiance du prêteur envers l'emprunteur ; - durée du prêt ;
- conjoncture économique et sociale.
De la formule générale I= Cxtxn on tire t=Ix36000
36000 Cxn
Exemple :
Un capital de 28 600 DH placé pendant 85 jours a rapporté 607.75 DH.
Calculer le taux ?
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L’escompte commercial
I Définition et calcul
L’escompte commercial, prix du service rendu par le banquier, ne sera autre que l’intérêt, à un taux t indiqué par le banquier, d’une somme égale à la valeur nominale de l’effet montant de l’avance effectuée par le banquier, calculé sur le nombre de jours que sépare la date de la négociation de l ‘effet de la date d’échéance de l’effet ( ce nombre de jour correspondant à la durée du prêt consenti par le banquier).
II calcul de l’escompte commercial
Dans la pratique, le banquier retient, outre l'escompte, diverses commissions L'ensemble des retenues : escompte, commission, taxe représente l'agio TTC Si on désigne par :
V = valeur nominale de l'effet n = durée en jours t = taux d'escompte e = escompte commercial
On obtient :
Exemple 1 :
Calculons l'escompte d'un effet de 40 000 DH au 31 juillet remis à l'escompte le 26 juin. Taux 11,25 %.
Nombre de jours : du 26 juin au 30 juin 4 jours jusqu'au 31 juillet 31 jours
35 jours
e = 40 000 x 11,25 x 35 / 36 000 = 437,50
ou
D = 36 000 / 11,25 = 3 200 e = 40 000 x 35 / 3 200 = 437,50
Exemple 2 :
Calculer l'escompte commercial d'un effet de valeur nominale de 8 300 DH à 40 jours au taux de 10, 75 %.
e = 8 300 x 40 x 10.75 / 36 000 = 99.14
III Valeur actuelle
C’est la valeur que le banquier doit verser au porteur de l’effet à l’occasion de l’opération d’escompte.
Elle représente la différence entre la valeur nominale et l’escompte retenu par le banquier.
En désignant par a cette valeur actuelle on aura :
a = V - e
Reprenons l'exemple 1
On obtient : a = 40 000 - 437.50 = 39 562.50
IV Calcul de l'échéance, du taux, de la valeur nominale VI.1.L'échéance
Quel est le nombre de jours jusqu'à l'échéance d'un effet de 4 800 DH qui escompté au taux de 12 % l'an a une valeur actuelle de 4 720 DH ?
Reprenons la formule : a = V – e
on peut écrire : 4 720 = 4 800 - e donc e = 80
on peut écrire encore : e = V tn / 36 000 = 80
d'où 4 800 x 12 x n / 36 000 = 80
4 800 x 12 x n = 80 x 36 000
57 600n = 2 880 000 n = 50 jours.
VI.2 Taux d'escompte
Quel est le taux qui a été appliqué à un effet de valeur nominale 780 DH pendant 35 jours et ayant une valeur actuelle de 771,66 DH .
On peut écrire : 771.66 = 780 - e donc e = 8.34 d'où 8.34 = V tn / 36 000
8.34 = 780 x 35 x t / 36 000 36 000 x 8.34 = 780 x 35 x t
300 240 = 27 300t
t = 11 donc taux = 11 % l'an.
IV.3. Valeur nominale
Quelle est la valeur nominale d'un effet qui, escompté au taux de 11 % l'an pendant 54 jours a une valeur actuelle de 1 983.50 ?
On peut écrire : 1 983.50 = V – V tn / 36 000
d'où = V - V x 11 x 54 / 36 000
= V - 0.0165V = 0.9835V V = 2 017 DH
- La pratique de l'escompte
Un commerçant qui veut négocier des effets les remet à son banquier, accompagnés d'un bordereau des effets présentés à l'escompte.
Par la suite, le banquier adresse au commerçant un bordereau des effets remis à l'escompte.
Ce document comporte :
- classement des différents effets
- leurs caractéristiques
- les différents calculs relatifs à l'agio
- la valeur nette escomptée (valeur nominale - agio)
V.1 Quelques définitions
Place bancable : localité où Bank al Maghrib a une succursale
Effet bancable : effet payable dans une place bancable
Effet déplacé : (ou non bancable) effet payable ailleurs
Taux d'escompte : taux de Bank al Maghrib augmenté d'un % variable entre 0.5 % et 1.5 %.
V.2 Calcul :
Le nombre de jours est celui qui s'étend entre la date de la remise à l'escompte et l'échéance des effets : peut être majoré d'un ou deux jours appelés jours de banque.
Dans certains cas, il peut y avoir un minimum de jours (10 à 15 jours). Il peut aussi y avoir un minimum d'escompte : 3,50 DH par exemple.
V.3 Les commissions
- Commission d'endos : elle rémunère le service rendu par le banquier qui réescompte les effets auprès de Bank al Maghrib. Même méthode de calcul que pour l'escompte.
- Commission de bordereau : appelée aussi commission de service, elle est calculée soit à un certain taux sur la valeur nominale des effets : 1/6 % par exemple, soit fixe : 3,20 DH par effet.
- Commission d'encaissement ou change de place : se calcule comme pour la commission de bordereau.
- Autres : commission d'acceptation, commission de manipulation ; en général fixes par effet.
V.4 Taxe
Depuis 1995, la TVA au taux de 7 % frappe l'ensemble des commissions, escompte. Exemple 1 :
On escompte les effets suivants :
3 548 échéance 20 novembre
12 465 15 décembre
10 250 10 novembre
700 15 décembre
100 20 novembre
aux conditions suivantes :
- date de remise : 4 novembre
- jour de banque : 1 - à appliquer aux effets dépassant le minimum de jours
- minimum de jours : 10
- taux : taux de Bank al Maghrib + 0,5 % ; le 4 novembre le taux Bank al Maghrib est de 10,75 %
- minimum d'escompte : 7,50 DH.
D = 36 000 / 11.25 = 3 200
(1) nombre minimum e = N/D N = e x D
= 7.50 x 3 200
= 24 000
escompte = 739 746 / 3 200 = 231.17
Calcul de la valeur nette sachant que :
- commission endos : 0.75 % l'an
- commission de manipulation : 3.50 DH par effet
- commission d'acceptation : 4.00 DH par effet (un seul est présenté à l'acceptation, le quatrième de 12 465)
- commission de service : 2.40 DH par effet.
Commission d'endos : D = 36 000 / 0.75 = 48 000 d'où commission endos = 739 746 / 48 000 = 15.41
*minimum de jours : 10
*minimum d'escompte : 7.50 DH
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L’EQUIVALENCE DES EFFETS
Examinons les cas suivants :
Il arrive qu'un débiteur ayant des difficultés de trésorerie demande à son créancier de remplacer un effet à 40 jours par un effet à 60 jours. A quelle condition cette opération peut-elle se faire sans que le créancier ne subisse de préjudice ?
Un commerçant peut être débiteur vis-à-vis d'un même créancier de plusieurs effets de valeurs nominales, d'échéances et de taux différents. Peut-on remplacer ces différents effets par un effet unique ?
Ceci, nous amène au problème qui consiste à rechercher "l'équivalence" entre deux effets.
Cas n° 1
Le 15 janvier, on négocie deux effets au taux d'escompte de 11,5 %.
Le premier : valeur nominale = 4 200,00 échéance 12 février. Le second : valeur nominale = 4 225,88 échéance 3 mars
Calculons la valeur actuelle de chaque effet :
a1 = 4 200,00 - 4 200,00 x 11,5 x 28 / 36 000 = 4 162,43
a2 = 4 225,88 - 4 225,88 x 11,5 x 47 / 36 000 = 4 162,43
Nous constatons que a1 = a2
Les deux effets ont même valeur actuelle au 15 janvier. Cette date est appelée date d'équivalence.
Deux effets sont dits "équivalents" à une date donnée si à cette même date, ils ont la même valeur actuelle.
Cas n° 2
On considère deux effets : V1 = 3 650,00 échéance 20 septembre
V2 = 3 709.49 échéance 10 novembre
Taux d'escompte : 11.25 %
A quelle date ces deux effets sont-ils équivalents ?
Date d’équivalence
Soit x le nombre de jours séparant le 20 septembre de la date d'équivalence x + 51 est le nombre de jours séparant le 10 novembre de cette même date, on peut écrire :
a1 = a2
V1 - e1 = V2 - e2
donc 3 650 - 3 650 x 11.25 * (x) / 36 000 = 3 709.49 - 3709.49 * 11.25 * (x 51)+ 36000 donc 3 650 - 1.140625 (x) = 3 709.49 - 1.1592156 (x + 51) 1.1592156 (x + 51) - 1.140625 (x) = 3 709.49 - 3 650 59.119995 + (1.1592156 - 1.140625) (x) = 59.49 0.0185906 (x) = 0.370005
x = 19.9 ≈ 20 jours
D’où la date d'équivalence = 20 jours avant le 20 septembre soit le 31 août. Cas n° 3
Un effet de 8 650 DH à échéance du 10 avril est remplacé le 31 mars par un effet au 31 mai. Taux d'escompte 11 %
Quelle est la valeur nominale de l'effet de remplacement ?
Il faut qu'au 31 mars les deux effets soient équivalents. Si V est la valeur nominale de l'effet de remplacement on peut écrire :
V - V x 11 x 61 / 36 000 = 8 650 - 8 650 x 11 x 10 / 36 000
(36 000V - 671V) / 36 000 = 8 650 - 26.43
35 329V / 36 000 = 8 623.57
V = 8 623.57 x 36 000 / 35 329
