Formation d’introduction à ALM : Gestion Actif Passif et Solvabilité

3. Discussion

Actif risqué 1

Actif risqué 2

Valeur de marché initiale

3.1

1.75

Valeur future

  pour l'état de la nature A

5

3

  pour l'état de la nature B

2

1

Actif d'état A

Actif d'état B

Valeur future

  pour l'état de la nature A

1

0

  pour l'état de la nature B

0

1

La valeur de marché des portefeuilles répliquants donne ainsi la valeur des actifs d'état qu’il est maintenant possible d’utiliser pour valoriser un nouvel actif risqué et l'actif sans risque, en fonction de leurs cash flows futurs :

La généralisation de cet exemple à un modèle mono périodique discret avec N états de la nature possibles est immédiate. La formule de valorisation d'un actif basée sur les N actifs d'états du modèle est alors donnée par :

N

P =?E(i).CF(i)

i=1

 Où : P est le prix de l'actif considéré, 

CF(i) ses cash flows dans chacun des N états 

E(i) le prix de l'actif d'état associé à l’état i

Pour que le modèle soit cohérent et effectivement sans opportunité d'arbitrage, il est important d'imposer quelques contraintes quant à la valeur de marché initiale des actifs d'états, les E(i) :

-    Tous les E(i) doivent être strictement positifs; si tel n’était pas le cas, l’achat du ou des actif(s) d’état de valeur négative ou nulle en 0 constitue une opportunité d’arbitrage.

-    Un modèle mono périodique ne présente pas d’opportunité d’arbitrage si et seulement si les E(i) existent (et sont strictement positifs). En effet, nous avons vu que, dans ce cas, le prix d’un actif s’exprimait de façon unique en fonction de ses cash flows futurs et du prix des actifs d’état.

L’actif sans risque est celui dont le rendement futur est indépendant des différents états du monde pouvant se produire. Soit r?0 le rendement de l’actif sans risque. Comme il rembourse 1 en fin de période, sa valeur en 0 est (1+r)^-1. Le remboursement est assuré quel que soit l’état de la nature et la valeur de l’actif sans risque peut donc également être exprimée par la somme des valeurs des actifs états. 

D’où la propriété suivante : 

N

^?i=1 E(i) = ₁₊¹_r ?1

3.1.2. Les déflateurs d’état

Nous allons maintenant introduire le concept de déflateur d'état. Pour ce faire, reprenons le modèle mono périodique à deux états utilisé précédemment et supposons que la probabilité d'occurrence de l'état de la nature A est p et celle de l'état B (1-p). 

Posons le déflateur d'état D(e) = E(e) / p(e)

Avec p(e) la probabilité supposée pour l'état e : P(A) = p et P(B) = 1-p.

Ainsi, en reprenant l'exemple précédent avec une probabilité d'occurrence de l'état de la nature A de deux tiers et de l'état B de un tiers, nous pouvons calculer les déflateurs à partir

du prix des actifs d'état : 

Ö On généralise facilement cet exemple à un univers avec N états de la nature possibles pour montrer que la valeur P d’un actif produisant le cash flows CF(e) pour chacun des N états de la nature s’exprime par : 

N                                                  N

P =?E(e)CF(e) =? p(e)D(e)CF(e) = E[D.CF]

e=1                                              e=1

3.1.3. Modèles multi périodiques et passage en temps continu

Les prix des actifs d’états sont notés E(t, e), avec t ? [1, 2, …, H] et e ? [1, 2, …, N]. Les probabilités associées à chaque état de la nature pour un instant t donné sont notées p (t, e), avec t ? [1, 2, …, H] et e ? [1, 2, …, N].

Comme pour le modèle mono périodique, les déflateurs sont définis par : D(t, e) = E(t, e) / p(t, e)  

Soit CF(t, e) un jeu de cash flows dont nous cherchons la valeur P. Comme précédemment, on raisonne par absence d’opportunité d’arbitrage sur un portefeuille répliquant exactement les cash flows, puis on introduit les déflateurs d’état pour parvenir à la formule suivante : 

H       N                                                                                 H

P = ?? p(t,e)D(t,e)CF(t,e) =?E[D(t)CF(t)]

t= =1 e 1                                                                            t=1

Selon le même principe, il est également possible de valoriser un cash flows futur à un instant futur. 

Soient deux instants t₁ et t₂, avec t₁ < t₂, la valeur en t₁ d’un cash flows tombant en t₂ est donnée par :

E_t1[D(t₂)CF(t₂)]

D(t₁)

Considérons maintenant l’évolution possible du prix d’un actif  P(t) sur une période allant de t₁ à t₂, pendant laquelle l’actif ne verse pas de dividende ou de coupon. En utilisant la formule précédente sur l’ensemble des cash flows procurés par l’actif considéré, on déduit : 

E_t1[D(t₂)P(t₂)] P(t₁) =

D(t₁)

Ce qui nous permet de mettre en évidence l’une des caractéristiques les plus importantes des déflateurs grâce à la formule suivante : D(t₁ )P(t₁ ) = E_t1[D(t₂ )P(t₂ )] .

Passage en temps continu

Pour calculer la valeur des Actifs d’État, il est nécessaire de disposer d’un certain nombre d’actifs risqués et de connaître leur valeur initiale ainsi que les flux qu’ils génèrent dans les différents états de la nature. En pratique il est plus facile de constater la valeur d’un nombre limité d’actifs de marché pour lesquels on aura identifié et paramétré des processus de diffusion continus à partir desquels on dérive le processus de diffusion des déflateurs. C’est ce mécanisme que nous nous sommes attachés à expliciter dans ce chapitre.  

D’autre part, notons que pour être vraiment utiles dans la valorisation de portefeuilles complexes, les déflateurs doivent être produits par un modèle de valorisation suffisamment sophistiqué pour pouvoir intégrer cette complexité. Les modèles discrets à plusieurs états que nous avons décrits au chapitre précédent pour rendre notre propos plus facilement accessible doivent être remplacés par des modèles continus. 

3.2. Formule générale des déflateurs pour les modèles en temps continu

Nous commencerons par donner la forme générale des déflateurs, pour une économie constituée d’une structure par terme des taux sans risque et d’un actif risqué. Puis, sur cette base, nous expliciterons les déflateurs de quelques modèles financiers classiques. 

3.2.1.Définition des déflateurs 

Pour une économie donnée, le prix déflaté d’un actif de marché est une martingale sous la mesure de probabilité historique. Mathématiquement, si C(t) est le processus stochastique définissant la diffusion dans le temps du prix d’un actif de marché, ?la mesure de probabilité historique et F_t la tribu des évènements en t, C(s).D(s) =E? [D(t).C(t) / F_s]. 

Hypothèse : Le prix S de l'actif risqué suit un mouvement brownien géométrique tel que : dS=µSdt + ?SdZ, où µ et ? sont des constantes.

Hypothèse : Les taux sans risque sont caractérisés par un modèle stochastique à un facteur

(processus d’Itô), continu et de carré intégrable :

(1)       dr =?(r(t),t)dt +?(r(t),t)dZ

Hypothèse : La dynamique d’une obligation zéro coupon d’échéance T , dont la valeur en t est notée  P = P(t,T) , peut être modélisée par un processus d’Itô : dP    ^~(r(t),t)dt +_?^~(r(t),t)dZ où   P(T,T) =1

(2)       =_µ

P

                       où µ^~ et ?^~ sont des fonctions continues, de carré intégrable.

Hypothèse : Le prix d’un zéro coupon ne dépend que de la dynamique des taux, P = P(r(t),t) .  

En utilisant le calcul d’Itô (cf. Annexe 1) et l’équation (1) on obtient :

(3)       dP = (P_r?(r(t),t) + P_t + P_rr (?(r(t),t)) ² )dt + P_r?(r(t),t)dZ

En identifiant dans les équations (2) et (3) pour les termes en dt et en dZ , on obtient : 

(4)       P_?^~(r(t),t) = P_r?(r(t),t) ;    P_µ^~(r(t),t) = P_r?(r(t),t) + P_t + P_rr (?(r(t),t)) ²

3.2.3 Utilisation de la mesure risque-neutre et prix de marché du risque

Q est une mesure de probabilité risque-neutre si :

-    les prix actualisés au taux sans risque sont des Q-martingales - le passage de la mesure historique ? à la mesure risque neutre Q existe et est déterminé par

dQ

un processus strictement positif que l’on appelle la dérivé de Radon-Nikodym :   

d?

dQ

-    la dérivé de Radon-Nikodym        a une variance finie d?

On peut démontrer (Duffie 2000) que s’il existe un déflateur D en définissant la quantité 

t

o dQ

?(T) = .

d?

dQ                                          dQ             dQ

Posons : (5) ?(t) =?_t (    )  ? ?_t'[?(t)] =?_t'[?_t (  )] =?_t ( ) =?(t) ?  ?(t) est une d?       d?       d?

martingale sous la mesure historique? (? -martingale). 

De plus le processus est strictement positif (?(0) =1).

Enfin, le théorème de représentation des martingales browniennes implique l’existence d’un

                                                                                                                  ??        1 T                                  2            ?

processus ?(r(t),t), à la condition que la quantité ? ?exp(2 ?0 (?(r(s),s) ds)?? soit finie, qui

?

assure que la dérive de ? (le terme en dt) est nulle : 

 (5bis) d?=??(r(t),t)?dZ

Cette formulation (5)bis assure que le processus est strictement positif.

En utilisant le théorème de Girsanov le processus :

(6) dZ^Q = dZ +?(r(t),t)dtZ^Q (t = 0) = 0

est un mouvement brownien sous la mesure Q. 

Le prix actualisé au taux sans risque d’ un zéro coupon est :

t

ou bien sous forme différentielle grâce au calcul d’Itô  d~P~ = [µ^~(r(t),t) ? r(t)]dt +_?^~(r(t),t)dZ

P

Si  dZ^Q = dZ +?(r(t),t)dt on a :

(8) d~P~ = [µ^~(r(t),t) ? r(t) ?_?^~(r(t),t)?(r(t),t)]dt +_?^~(r(t),t)dZ^Q

P

Le prix actualisé au taux sans risque d’un zéro coupon est une Q-martingale 

? 0 =_µ^~(r(t),t) ? r(t) ?_?^~(r(t),t)?(r(t),t)

? (9) _µ^~(r(t),t) = r(t) +_?^~(r(t),t)?(r(t),t)

On appelle le processus ?(r(t),t) prix de marché du risque.  

En reportant (9) dans les équations (2) et (4) on a :

(10)  P[r(t) +_?^~(r(t),t)?(r(t),t)] = P_r?(r(t),t) + P_t + P_rr (?(r(t),t))²   et

(11)  dP = (r(t) +?(r(t),t)_?^~(r(t),t))dt +_?^~(r(t),t)dZ₁  où  _?^~(r(t),t) = P^r ?(r(t),t)

C’est cette formulation de la structure par terme des taux que nous utiliserons dans la suite des calculs. 

3.2.4. Construction du déflateur pour une économie avec une courbe des taux stochastique et un actif risqué

L’économie considérée comporte un actif risqué, par exemple un indice actions, dont le cours suit un mouvement brownien géométrique et une courbe des taux suivant un processus de diffusion stochastique à un facteur (processus d’Itô) :

dS (12)     =µdt + kdZ₂dr =?(r(t),t)dt +?(r(t),t)dZ₁S

Les deux mouvements browniens qui décrivent l’aléa de l’économie considérée, sont corrélés. Soit Z₁^? un mouvement brownien tel que dZ₁.. Autrement dit, nous prenons une base orthogonale où Z₁^? est indépendant de Z₁ . On a ensuite :

(13)   dZ₁.dZ₂ =?dtdZ_i .dZ_i = dtZ

Le trois actifs de l’économie sont le titre risqué S, le compte d’épargne court terme B et un zéro coupon P d’échéance T . Leurs dynamiques deviennent :

dS

(14)   =µdt       

S dB (15) = r(t)dtB

dP                              ^~(r(t),t))dt +_?^~(r(t),t)dZ₁

(16)  = (r(t) +?(r(t),t)_?P

où ?(r(t),t) est le prix de marché du risque de taux dépendant des hypothèses du modèle  et _?^~(r(t),t) = P^r ?(r(t),t) où P est une solution de l’équation différentielle (10).

P

Comme le déflateur est un processus d’Itô, on peut décrire sa dynamique selon l’équation différentielle stochastique suivante :

Pour trouver  ?=?(D,r(t),t),?=?(D,r(t),t),?=?(D,r(t),t) nous allons utiliser l’argument suivant : les processus de prix déflatés de trois actifs de marché, SD,BD,PD sont des ?-martingales et le théorème de représentation des martingales assure que leur dérive (terme en dt)  est nulle. 

On obtient ainsi pour SD : 

(18)   d(SD) = DdS + SdD + dSdD de (12), (13) et (17)  on obtient

(19)   d(SD) = (µSD +?S + Sk??+ Sk 1??² ?)dt +KdZ₁ +KdZ₁^?

? en annulant le terme en dt on a :

(21)   d(BD) = DdB + BdD + dBdD  de (12), (13), (15) et (17) on obtient

(22)   d(BD) = (DBr(t) + B?)dt +KdZ₁ +KdZ₁^?

? en annulant le terme en dt on a :

(23)   Dr(t) +?= 0  ?  ?=?Dr(t)

La troisième équation est obtenue pour PD :

(24)   d(PD) = PdD + DdP + dPdD  de (13), (16) et (17)  on obtient

(25)   d(PD) = (P?+ DP[r(t) +?(r(t),t)_?^~(r(t),t)]+ P?_?^~(r(t),t))dt +KdZ₁ +KdZ₁^?

En reportant  (23) dans (25) et en annulant le terme en dt on a:

(26)   D?(r(t),t)_?^~(r(t),t) +?_?^~(r(t),t) = 0  ?   ?=?D?(r(t),t)

En reportant (23) et (26) dans (20) on a :

(27)   ?= D r(t) ?µ+?(r(t),t)k^?

On peut écrire l’équation différentielle stochastique suivie par D :

dD                                                                                               r(t) ?µ+?(r(t),t)k?

K(r(t),t) =?

D                                                                                                             

Soit y = ln D   ? dy = dy dD + ¹d²₂y dDdD   ?  dy = dD ? ¹₂dDdDdD          2 dy          D         2D dD^{1         2                      2                      2                      2}

? dy =         ?         ₂ (D (?(r(t),t)) + D (K(r(t),t)) )dt

D     2D

En utilisant (28) on obtient :

dy

? en intégrant sur (0,t) on obtient : 

(29)

                        3.2.5. Quelques propriétés des déflateurs

Nous avons vu que le déflateur existe s’il y a Absence d’Opportunité d’Arbitrage sur les marchés financiers et qu’il est unique si les marchés sont complets.

La forme générale (29) garantie bien que le déflateur est strictement positif. 

L’espérance vue de l’instant 0 du déflateur à un instant futur t est égal à la valeur du zérocoupon P(0, t).  En effet, en appliquant la propriété de martingale au prix des zéro-coupons déflatés, dont le cash flow certain en t est égal à 1, il vient : E[D(t)] = E[D(t).1] = 1.P(0,t)

Notons, en conséquence, que l’on peut encore simplifier l’expression générale du déflateur (29) en remarquant que la valeur en t=0  du déflateur est 1 (P(0,0)).

3.3. Modèle de Black & Scholes

Dans ce modèle, l’actif risqué suit bien un mouvement brownien géométrique, comme nous l’avons supposé au 3.3.1., et l’actif sans risque donne un rendement constant r. 

En appliquant la formule (29) à cette économie, il vient immédiatement : 

? = 0, la courbe des taux étant plate et statique, la prime de risque associée est nulle.

K = ^µ?r , la prime de risque associée au risque du processus action S. ?

En remplaçant ces primes de risque dans la formule générale (29), et sachant que D(0) = 1, il vient :

3.4. Modèle de Vasicek pour la courbe des taux

Vasicek a proposé en 1977 le processus de diffusion suivant pour le taux court r(t) (processus d’Ornstein-Uhlenbeck) : 

dr = a(b ? r)dt +?.dZ₁

La dynamique d’un zéro coupon est déterminée par l’équation (11) :  

dP = (r(t) +?(r(t),t)?^~(r(t),t))dt +_?^~(r(t),t)dZ₁

P

Le modèle de Vasicek est un modèle affine de la courbe des taux. En effet, les taux nominaux sont des fonctions affines du  r(t). Duffie (1994) a montré que la structure des taux est affine si et seulement si le coefficients des processus sont affines. En résolvant l’équation (10) pour ce modèle on a (cf. Annexe 2): 

_?^~(r(t),t) =?^?(1? e^?a(T?t) )      a

L’équation différentielle stochastique suivie par le déflateur D pour l’économie où la courbe des taux suit le modèle de Vasicek et l’actif risqué S un mouvement brownien géometrique:

dD                                                                                       r(t) ?µ+?k?

  où  K(r(t),t) =?

D                                                                                             k 1??

3.5. Modèle de Cox, Ingersoll et Ross (CIR)

Cox, Ingersoll et Ross ont proposé en 1985 le processus de diffusion suivant pour le taux court r(t) : 

dr = a(b ? r)dt +? r(t)dZ₁

a,b,? sont constants. a correspond à la vitesse de retour à la moyenne, b à la valeur de la moyenne et ? r(t) est la volatilité stochastique du taux court. Dans ce modèle r(t) ne peut pas être négatif. ?(r(t),t), le prix de marché du risque de taux, est dans ce modèle:

?(r(t),t) =   ;   où ?est constant

?(r(t),t) est dérivé d’un modèle d’équilibre pour assurer l’absence d’opportunité d’arbitrage

(AOA). Le modèle CIR est cohérent avec un modèle d’équilibre où les agents ont une fonction d’utilité logarithmique. 

La dynamique d’un zéro coupon est déterminée par l’équation (11) :  

dP = (r(t) +?(r(t),t)?^~(r(t),t))dt +_?^~(r(t),t)dZ₁

P

?~(r(t),t) =?b~(T ?t)? r(t) ;                              b~(T ?t) =            2(exp(?(T ?t)) ?1)            ;

(?+ a +?)(exp(?(T ?t)) ?1) + 2?

?= (a +?)² + 2?²

L’équation différentielle stochastique suivie par le déflateur D devient pour l’économie avec cette courbe de taux et l’actif risqué S :

r(t) ?µ+              k?

dZ où    K(r(t),t) =?

et

4.1. Générateur de scénarios macro-économique et des déflateurs associés.

Pour faciliter l’interprétation des résultats et permettre aux lecteurs qui le souhaiteraient de retrouver facilement les calculs, nous utiliserons la version la plus simple des déflateurs : celle du modèle de Black & Scholes (cf. section 3.3.). La courbe des taux est donc plate et constante dans le temps ; dans l’exemple que nous analyserons dans la section suivante, le risque de courbe des taux est de toute façon complètement couvert par l’adéquation Actif / Passif.

Simulations 

Avec un générateur d’aléas classique, nous générons des simulations stochastiques  de l’indice action et du déflateur associé.

Sur les bases des résultats bruts … 

… nous pouvons expliciter quelques statistiques qui permettent de mieux voir comment fonctionne le déflateur :

•   La moyenne des déflateurs, pour chaque année de projection, est égale à la valeur initiale du zéro-coupon de maturité correspondante (i.e. la moyenne du déflateur la troisième année de projection est égale au zéro-coupon P(0,3) ). 

Cf. graphique page suivante.

4.2. Application : besoin en capital et création de valeur 

Comme application, nous allons comparer le besoin en capital donné par la norme européenne actuelle et celui donné par le capital économique. Nous allons également considérer la création de valeur pour l’actionnaire selon trois indicateurs : l’Embedded Value, l’European Embedded Value et la Fair Value. 

            4.2.1. Indicateurs

Calcul de la Fair Value

La Fair Value de la société sera donné par la valeur actualisée en 0, grâce aux déflateurs, des cash flows futurs (CF) appartenant à l’actionnaire et générés par le modèle :

T

Fair Value = ?E[D_iCF_i ]

i=1

Calcul de l’European Embedded Value

L’European Embedded Value sera donnée en actualisant, chaque année, la moyenne des CF à un taux arbitraire, réputé capter le risque non valorisé par la méthode (et que nous préciserons à chaque fois dans les résultats). On déduit ensuite de cette valeur un coût du capital correspondant à l’écart entre le rendement constaté de l’actif et le rendement attendu par l’actionnaire sur le montant de capitaux immobilisés pour des raisons réglementaires.

Calcul de l’Embedded Value

L’Embedded Value sera donnée en ne faisant qu’une seule projection déterministe des CF annuels pour laquelle la source d’aléas (le rendement des actions) est fixée égale à son espérance (7% par exemple). Les cash flows appartenant à l’actionnaire sont ensuite actualisés avec un taux arbitraire réputé capter le risque non valorisé par la méthode (et que nous prendrons égal à l’espérance du rendement action). On déduit ensuite de cette valeur un coût du capital correspondant à l’écart entre le rendement constaté de l’actif et le rendement

attendu par l’actionnaire (ici le taux d’actualisation) sur le montant de capitaux immobilisé pour des raisons réglementaires.

Pour éviter d’avoir à faire un grand nombre d’itération pour trouver le niveau de capital initial qui permet d’éviter l’insolvabilité économique avec la probabilité voulue, nous ferons l’approximation suivante :

Capital Économique = 

Fair Value médiane dans 1 an – Fair Value du quantile 0.25% dans 1 an.

La distribution de Fair Value dans un an est obtenue selon le processus suivant : 

1)  une première simulation stochastique sur la première période d’un an conduit à N situations (par exemple 5000).

2)  pour chacune de ces N situations, on projette les flux futurs jusqu’à l’horizon, avec les déflateurs associés.

3)  les N jeux cash flows actualisés grâce aux déflateurs donnent une distribution de Fair Value à un an. 

4.2.2. Cas modélisé 

Considérons une société d’assurance ultra simplifiée pour laquelle les passifs techniques ne sont constitués que d’un seul produit d’assurance Vie, contenant des dérivés financiers implicites. Les actifs sont investis en actions de marché et en obligations d’état (considérées comme des actifs sans risque).

Nous allons nous appuyer sur un modèle Actif / Passif de projection des cash flows futurs et appliquer à ces cash flows la technique de valorisation explicitée précédemment. 

Passif technique

Le passif technique est constitué d’un contrat à prime unique de 100 000 €, d’échéance 8 ans. On suppose qu’il n’y a ni rachat, ni décès pendant la durée du contrat et que le contrat n’est pas prorogeable après 8 ans.

Le contrat comprend une moitié investie en Unités de Compte et une autre moitié libellée en Euros. Pour la part UC, l’assuré supporte le risque d’investissement et conserve l’intégralité du rendement du fonds net de chargements. Les prélèvements sociaux sont déduits au terme. 

Chargements

Sont prélevés sur les en-cours d’actifs ou les revenus financiers les chargements et cotisations suivantes : 

-   Prélèvements sociaux (CSG, CRDS) : 11% des revenus financiers

-   Frais de gestion annuels bruts : 0.8% de l’en-cours pour la part Euros, 0,65% pour la part UC

                            0.25% de ces frais sont reversés au réseau de distribution

-   Frais d’acquisition bruts : 2,5%       Ces frais sont intégralement reversés au réseau de distribution.

Coûts de fonctionnement

Les coûts de fonctionnement supportés par l’assureur sont modélisés comme un pro rata du volume d’actifs investis (0,1%).

Actifs investis

Les passifs techniques sont scindés en UC et Euros, chaque canton étant adossé à un fonds sur lequel sont prélevés les chargements. Les actifs sont investis en actions (actif risqué) et en obligations d’état 8 ans (actif sans risque), dans les mêmes proportions pour chacun des deux fonds ; cette allocation globale est précisée pour chaque simulation.

Nous n’avons pas modélisé d’impôt sur les flux appartenant à l’actionnaire.

4.3. Résultats

Nous avons modélisé le cas décrit précédemment, sous Excel, avec le paramétrage suivant :

Sur la base de ce paramétrage, nous calculons les trois différents indicateurs de valeur, avec le montant en € et le ratio de ce montant divisé par 10% de la prime unique (un ratio classique d’analyse de la valeur crée par unité de prime récurrente, appelé « NBM » ou New Business Margin), ainsi que les deux indicateurs de besoin en capital, le Capital Economique et l’exigence réglementaire actuelle « Solvabilité I » (4% de l’engagement € et 1% de l’engagement UC) :

Sensibilité à la part actions :

• Avec 7% d’actions (au lieu de 10%)

• Avec 13% d’actions 

Sensibilité au Taux Minimum Garanti :

• Avec 0,05% de prélèvements annuels supplémentaires

• Avec 0,1% de prélèvements annuels supplémentaires 

4.4. Analyse des résultats

L’Embedded Value, qui d’une part ne capte pas l’optionnalité du produit et, d’autre part, ne restitue pas de valeur « Market Consistent », est insensible au niveau du Taux Minimum Garanti (tant que celui-ci reste inférieur au rendement moyen espéré du portefeuille d’actif, net de chargements, c’est àdire tant que l’option correspondant reste « hors de la monnaie »). D’autre part le choix du taux d’actualisation étant arbitraire et indépendant du risque réellement pris, l’augmentation de la prise de risque action n’est pas prise en compte et conduit à une augmentation de l’indicateur de valeur !

L’European Embedded Value, elle, capte l’optionnalité mais ne valorise pas de façon « Market Consistent » . Le choix du taux d’actualisation est moins arbitraire mais reste trop grossier pour réellement capter le risque encouru. Cet indicateur présente comme principal avantage de fournir une valeur tenant compte des options du bilan tout en restant très simple (actualisation des cash flows moyens avec un taux simple). 

La Fair Value capte l’optionnalité et la valorise de façon « Market Consistent », ce qui, on le voit, correspond à une valeur des options plus importante que ne le fait apparaître l’EEV. Ceci tient au fait que les déflateurs, captant l’aversion au risque des acteurs du marché financiers, donnent un poids plus important aux scénarios défavorables que ne le fait l’EEV en prenant simplement la moyenne sur tous les scénarios.

La sensibilité au TMG confirmeque l’EV y est bien totalement insensible . L’EEV, en revanche, capte bien ce type d’option mais y affecte une valeur inférieure à la « Market Consistent » value donnée par la Fair Value. Avec le peramétrage de l’exemple, donner des TMG de 2% recèle beaucoup trop de danger pour l’actionnaire et la valeur de ses flux s’en trouve largement amputée. Cette option doit se situer entre 0% et 1% pour que le produit soit rentable. Le Capital Economique délivre le même message.

La sensibilité aux chargements a simplement été effectuée pour donner un ordre de grandeur de l’équivalent en taux de chargement des impacts d’une augmentation de la part action ou du TMG.