INITIATION A
L’ALGORITHMIQUE
INF 102
NOTES DE COURS
M. DELEST 2007
Université Bordeaux 1
Définition 1.1. Un algorithme est une procédure de calcul bien définie qui prend en entrée un ensemble de valeurs et qui délivre en sortie un ensemble de valeurs.
Exemple 1.1Problème : Trier une suite de nombres entiers dans l'ordre croissant.
Entrée : Suite de n nombres entiers (a1, a2, an)
Sortie : Une permutation de la suite donnée en entrée (a'1, a'2, a'n) telle que a'1?a'2?, ?a'n.
A partir de la suite (6,9,2,4), un algorithme de tri fournira le résultat (2,4,6,9).
Définition 1.2.Une valeur particulière de l'ensemble des valeurs données en entrée est appelée instance du problème.
La valeur (6,9,2,4) est une instance du problème.
Définition 1.3.Un algorithme est correct si pour toute instance du problème il se termine et produit une sortie correcte.
Les algorithmes peuvent être spécifiés en langage humain ou tout langage informatique. Dans ce qui suit nous utiliserons un langage proche du langage naturel. Nous donnerons une implémentation en Python (voir cours MISMI MIS
102)
Définition 1.4.Une heuristique est une procédure de calcul correcte pour certaines instances du problème (c'est à dire se termine ou produit une sortie correcte).
Ce cours n'aborde pas les heuristiques.
Pour qu'un algorithme puisse être décrit et s'effectue, les données d'entrées doivent être organisées.
Définition 1.5.Une structure de données est un moyen de stocker et d'organiser des données pour faciliter leur stockage, leur utilisation et leur modification.
De nombreux problèmes nécessitent des algorithmes : Bio-informatique
Moteur de recherche sur Internet
Commerce électronique
Affectation de tâches
Définition 1.6. L'efficacité d'un algorithme est mesuré par son coût (complexité)en temps et en mémoire.
Une problème NP-complet est un problème pour lequel on ne connait pas d'algorithme correct efficace c'est à dire réalisable en temps et en mémoire. Le problème le plus célèbre est le problème du voyageur de commerce.
L'ensemble des problèmes NP-complets ont les propriétés suivantes : Si on trouve un algorithme efficace pour un problème NP complet alors il existe des algorithmes efficaces pour tous,
Personne n'a jamais trouvé un algorithme efficace pour un problème NP-complet, personne n'a jamais prouvé qu'il ne peut pas exister d'algorithme efficace pour un problème NP-complet particulier.
L'efficacité d'un algorithme est fondamentale pour résoudre effectivement des problèmes.
Exemple1.2.
Supposons que l'on dispose de deux ordinateurs. L'ordinateur A est capable d'effectuer 109 instructions par seconde. L'ordinateur B est capable d'effectuer 107 instructions par seconde. Considérons un même problème (de tri par exemple) dont la taille des données d'entrées est n. Pour l'ordinateur A, on utilise un algorithme qui réalise 2n2 instructions. Pour l'ordinateur B, on utilise un algorithme qui réalise 50nlog(n) instructions. Pour traiter une entrée de taille 106 : l'ordinateur A prendra 2000s et l'ordinateur B prendra 100s. Ainsi même si la machine B est médiocre, elle résoudra le probème 20 fois plus vite que l'ordinateur A.
Définition 1.1. La complexité d'un algorithme est en temps, le nombre d'opérations élémentaires effectuées pour traiter une donnée de taille n, en mémoire, l'espace mémoire nécessaire pour traiter une donnée de taille n.
Dans ce cours, nous considèrerons que la complexité des instructions élémentaires les plus courantes sur un ordinateur ont un temps d'exécution que l'on considèrera dans ce cours comme constant égal à 1. Les instructions élémentaires sont : addition, multiplication, modulo et partie entière, affectation, instruction de contrôle.
Ce qui intéresse fondamentalement l'algorithmique c'est l'ordre de grandeur (au voisinage de l'infini) de la fonction qui exprime le nombre d'instructions. Les courbes de références sont ici.
Il est nécessaire de disposer d'un langage qui soit non lié à l'implémentation. Ceci permet une description plus précise des structures de données ainsi qu'une rédaction de l'algorithme plus souple et plus "lisible". Le langage EXALGO est un exemple de ce qui peut être utilisé et qui sera utilisé dans ce cours. Il est composé de chaînes de caractères alphanumériques, de signes opératoires (+,-,*,/,<,<=,>=,>,<>,==,=,ou,non,et), de mot-clés réservés, et de signes de ponctuation : ''=, ;,(,), début, fin, //. Les balises début et fin peuvent être remplacés par { et }.
Remarque. Python n'utilise pas de marqueurs de fin. Le caractère :
est le marqueur de début et quand l'indentation cesse Python considère que c'est un marqueur de fin.
Définition 2.1. Un type abstrait est un triplet composé :
d'un nom,
d'un ensemble de valeurs, d'un ensemble d'opérations définies sur ces valeurs.
Les types abstrait de bases de l'algorithmique sont :
entier,caractères,booléen,réél
que l'on écrit respectivement en EXALGO entier,car,booléen,réél
Définition 2.2. Une variable est un triplet composé d'un type (déjà défini),
d'un nom (a priori toute chaîne alphanumérique), d'une valeur.
On écrit en EXALGO
varNomDeVariable:Type;
Type est à prendre pour l'instant dans l'ensemble {entier,car,booléen,réél}
Définition 2.3. Les Expressions sont constituées à l'aide de variables déjà déclarées, de valeurs, de parenthèses et d'opérateurs du (des)type(s) des variables concernées.
Définition 2.4. L'affectation est l'instruction qui permet de stocker une valeur dans une variable.
On écrit
NomDeVariable=ExressionDuTypeDeLaVariable;
Toute variable doit être déclarée et recevoir une valeur initiale.
Une variable de type booléen prend comme valeur VRAI ou FAUX. Les opérations usuelles sont ET, OU et NON qui sont données dans les tables qui suivent.
Une variable de type entier peut prendre comme valeur l'ensemble des nombres entiers signés. Les opérations associées sont les opérations usuelles +,-,*,/.
Une variable de type réél peut prendre comme valeur l'ensemble des nombres réels. Les opérations associées sont les opérations usuelles +,-,*,/.
Une variable de type car peut prendre comme valeur l'ensemble des caractères imprimables. On notera les valeurs entre guillemets. On considère souvent que les caractères sont ordonnés dans l'ordre alphabétique.
Les valeurs
"1" qui est un caractère,
1 qui est un entier,
1. qui est un réel sont différentes et ne seront pas codés de la même manière dans la mémoire de la machine.
Les opérateurs <, ?, ==, !=, >, ? permettent de comparer les valeurs de type entier, réel et caractère. Le résultat de cette comparaison est une valeur booléenne.
Il y a trois structures principale de contrôle qui permettent de construire des algorithmes Bloc d'instruction
débutinstruction1instruction2 . fin
Alternative
Alternative simple (traduction Python):
siExpressionBooléennealorsBlocInstruction1sinon
BlocInstruction2finsi;
Alternative multiple (traduction Python):
selon que cas cas1:BlocInstruction1 cas cas2:BlocInstruction2
.
autrement :BlocInstructionfinselonque Répétition
L'instruction exit permet d'arrêter la répétition.
le bloc d'instruction peut ne pas être éxécuté (traduction Python):
tant queExpressionBooléennefaireBlocInstructionfintantque;
le bloc d'instruction peut ne pas être exécuté et il y a une variable indicatrice (traduction Python):
pourVariableIndicatriceallant deValeurInitialeàValeurFinalepar pas deValeurPasfaireBlocInstructionfinpour;
le bloc d'instruction est exécuté au moins une fois (ne se traduit pas directement en Python)
répéter
BlocInstruction
jusqu'àExpressionBooléennefinrépéter;
Une fonction est une section d'algorithme qui a un objectif bien défini et un nom. En général, elle communique avec l'extérieur par le biais de paramètres typés. Elle possède des variables locales qui ne sont pas visibles à l'extérieur de la fonction. Ces variables peuvent être des fonctions. Une fonction retourne une valeur par l'instruction simple retourne(Expression).
L'expression peut être vide, tout s'est bien passé mais il n'y a pas de résultat à retourner : retourne() sans résultat, il est impossible de retourner un résultat suite à un cas de figure de l'instance : retourne(NUL)
Ecriture de la fonction
fonctionNomDeFonction(ListeParamètres):TypeRésultat;
//déclarations des variables ou fonctions locales autres que les paramètres début
// partie instruction qui contient l'appel à retournefinfinFonction
liste des paramètres
Les paramètres sont passés par référence ref, on écrit
refListeVariable:NomDeType
la fonction travaille directement dans la variable passée en paramètre, par valeur val, on écrit
valListeVariable:NomDeType
la fonction travaille sur une copie de la variable passée en paramètre.
Le type du résultat est vide si la fonction ne renvoie pas de résultat.
Une fonction s'utilise en écrivant
NomDeFonction(ListeInstanceParamètres)
dans le calcul d'une expression si la fonction retourne une valeur, comme une instruction simple si elle ne retourne pas de valeur.
fonction exemple(val n:entier;ref m: entier):vide; début n=5; m=7; fin finFonction
Supposons que l'on ait la séquence suivante :
var p,q:entier; début p=1; q=2; exemple(p,q); fin
Après éxécution p contiendra 1 et q contiendra 7 (Animation ici).
EXALGO permet de fixer les quelques règles élémentaires permettant d'écrire des algorithmes en s'affranchissant l'implémentation.
Le langage EXALGO est composé de chaînes de caractères alphanumériques, de signes opératoires, de mot-clés réservés, et de signes de ponctuation : =, ;,(,), début, fin, //. Les marqueurs de fin, début et fin peuvent être remplacés par { et } lorsqu'il y a encombrement.
Types prédéfinis : entier,car,booléen,réél Définition de type : typeNomDeType=TypePrédéfini; Définition d'un tableau d'entiers : typeNomDeType= tableau 1..limitedeTypePrédéfini;
Variables
varNomDeVariable:TypePrédéfini;
Consituées à l'aide de variables déjà déclarées, de parenthèses et d'opérateurs du (des) type(s) des variables concernées.
affectation :
NomDeVariable=ExressionDuTypeDeLavariable; sortie de calcul :exit, retourne()
Bloc d'instruction :
instruction1instruction2 .
Alternative:
siExpressionBooléennealorsBlocInstruction1sinonBlocInstruction2finsi;
Alternative multiple:
selon que cas cas1:BlocInstruction1 cas cas2:BlocInstruction2
.
autrement :BlocInstructionfinselonque Répétition : exit permet d'arrêter la répétition le bloc d'instruction peut ne pas être éxécuté
tant queExpressionBooléennefaireBlocInstructionfintantque;
le bloc d'instruction peut ne pas être exécuté et il y a une variable indicatrice
pourVariableIndicatriceallant deValeurInitialeàValeurFinalepar pas deValeurPasfaireBlocInstructionfinpour;
le bloc d'instruction est exécuté au moins une fois
répéterBlocInstruction
jusqu'àExpressionBooléennefinrépéter;
Une fonction retourne une valeur par l'instruction simple(retourne(Expression)). Une fonction s'utilise dans le calcul d'une expression ou comme instruction simple.
Ecriture de la fonction
fonctionNomDeFonction(ListeParamètres):Typerésultat; //déclarations des variables locales autres que les paramètres début // partie instruction qui contient l'appel à retourne()finfinFonction
liste des paramètres
Les paramètres sont passés par référence ref, on écrit
refListeVariable:NomDeType
par valeur val, on écrit
valListeVariable:NomDeType
Le type du résultat est vide si la fonction ne renvoit pas de résultat.
Type structuré
Un type structuré est constitué à partir de types de base ou d'autres types déclarés.
type NomDeType: structure champ1:NomDeType1 champ2:NomDeType2finstructure
Après la déclaration
varE:NomDeTypeEnregistrement
on accède au différents champs par le nom de la variable suivi d'un point suivi du nom de champ (E.champ1)
Type pointeur
Si O est un objet de type T, on accède à l'objet par O^. Si on déclare : varP:^NomDeType
alors on peut obtenir un objet accessible par allouer(P). Lorsqu'on n'utilise plus l'objet, il faut libérer l'espace qu'il utilise par desallouer(P).
Définition 3.1. Une séquence sur un ensemble E est une suite d'éléments (e1,e2, en) d'éléments de E.
Une séquence peut contenir des éléments identiques de l'ensemble E.
(3,5,8,2,12,6) est une séquence d'éléments de N, ensemble des entiers naturels.
("a","z","T","A","a") est une séquence sur l'ensemble des caractères imprimables(char).
Il existe plusieurs variantes de séquences suivant les opérations de manipulation autorisées : accès par l'indice de l'élément ou non, accès à la fin de la séquences ou non, .
On utilisera en général des noms particuliers dépendants des caractéristiques de la séquence.
Un vecteur peut être défini par une séquence dans laquelle l'accès aux éléments se fait par son indice et la taille de la séquence dépend de l'espace dans lequel on se trouve. On dit aussi qu'on a un accès direct à l'élément. Dans la plupart des langages de programmation, le vecteur existe sous le nom d'array.
Soit la procédure calculant la factorielle
fonction fac(val n:entier):entier; begin if n<=1 alors retourner(1) sinon retourner(n*fac(n-1)) finsi finfonction
Programme Python
La séquence des valeurs de n au cours des appels récursifs doit être mémorisée. Supposons l'appel fac(4) alors il y aura appel de fac(3), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(4)
il y aura appel de fac(2), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(3,4)
il y aura appel de fac(1), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(2,3,4)
après exécution de fac(1), et la valeur est supprimée en tete de
séquence L=(3,4)
après exécution de fac(2), n prend pour valeur la tête de la séquence et la valeur est supprimée en tete de séquence L=(4) après exécution de fac(3), n prend pour valeur la tête de la séquence et la valeur est supprimée en tete de séquence L=()
Soient F1,F2, ,Fp des ensembles.
Définition 3.2. Une structure sur F1xF2x xFp est une séquence
(f1,f2, fk) telle que
Les structures sont des cas particuliers de séquences. En algorithmique, chaque ensemble Fi peut être un type de base ou une structure. ce mécanisme permet de définir de nouveaux types plus complexes que les types de base. En EXALGO, on écrit
nom_du_type=structure nom_champs_1:type1; nom_champs_2:type2;
.
nom_champs_k:typek; finstructure.
Ceci signifie que lorsqu'une variable est déclarée de ce type, elle référence k variables en même temps. Soit V une variable dont le type est une structure, on désigne un des champs par V. suivi du nom du champs.
Une date de naissance est un exemple de structure. On peut ecrire :
dateDeNaissance=structure jourDeNaissance:entier; moisDeNaissance:entier; annéeDeNaissance:entier; finstructure.
On peut définir une structure composée du sexe et de la date de naissance
individu=structure sexe:booléen date:dateDeNaissance; finstructure.
Soit la déclaration var I:individu
alors I.sexe sera un booléen et I.date.jourDeNaissance sera un entier.
Ainsi les instructions suivantes ont un sens:
=12;
I.sexe=false;
Définition 3.3 Soit F un ensemble. Une table d'association à clé unique est une séquence d'éléments de NxF (N est l'ensemble des entiers naturels), ((c1,f1),(c2,f2), ,(ck,fk)) telle que
Les tables d'association sont un cas particulier de séquence d'éléments structurés. La structure se décrit en EXALGO
association=structure cle:entier; valeur:type_prédéfini; finstructure
Lors de l'activation du compte électronique, l'étudiant de l'Université Bordeaux 1 fournit un numéro INE qui sera associé à un mot de passe. On a donc quelque part dans le système de gestion des comptes une table d'association à index unique dont l'élément de séquence est :
Etudiant=structure INE:entier; motDePasse:typeMotDePasse; finstructure
Définition 4.1.(Notation de Landau) On dit que f=O(g) s'il existe deux nombres rééls k,a > 0 tels que
pour tout x>a, |f(x)|?k|g(x)|.
Exemple 4.1.
Si le nombre d'instructions est égal à f(n)=a n2 + b n + c avec a,b,c des constantes réelles, alors f(n)=O(n2).
Les figures permettent de comparer les fonctions usuelles utilisées pour décrire la complexité d'un algorithme en fonction de la taille n des données d'entrées. Parmi les fonctions usuelles, le log à base 2 de n (log2(n)) joue un rôle important.
Pour un algorithme A, notons CA(D), le coût de l'algorithme A pour une instance D. Définition 4.2. On définit les trois complexités suivantes : Complexité dans le pire des cas
C>A(n)=max{CA(d),d donnée de taille n}
Complexité dans le meilleur des cas
C<A(n)=min{CA(d),d donnée de taille n}
Complexité en moyenne
où Pr(d) est la probabilité d'avoir en entrée une instance d parmi toutes les données de taille n.
Soit Dn l'ensemble des instances de taille n. Si toutes les instances sont équiprobables, on a
Parfois, il est nécessaire d'étudier la complexité en mémoire lorsque l'algorithme requiert de la mémoire supplémentaire (donnée auxiliaire de même taille que l'instance en entrée par exemple).
Les algorithmes font intervenir les opération élémentaires suivantes:
opérations élémentaires +,-,*,/ test d'expression booléenne appel de fonctions.
Les complexités en temps des structures sont données ci-dessous Bloc d'instruction : somme des coûts des instructions
Alternative
Alternative simple : un test Alternative multiple :
complexité minimum : un test
complexité maximum : nombre de cas possible-1
Répétition
Soit BT(n)(resp. BO(n)) la complexité en nombre de tests (resp. d'opérations élémentaires) de la suite d'instructions à itérer, et k le nombre de fois ou l'itération s'effectue alors la complexité sera de .
k BT(n)+1 pour le nombre de tests
k BO(n) pour le nombre d'opérations du tant que et du répéter k (BO(n)+1) pour le nombre d'opérations du pour
Somme des N premiers entiers
fonction suite(val n:entier):entier; var i,s:entier; début s=0; pour i allant de 1 à n faire s=s+i; finpour; retourner(s) fin finfonction;
Source Python On a
C>suite(n)= C<suite(n)=Csuite(n)=O(n).
Apparition d'un Pile dans une suite de n lancers d'une pièce
Entrée : un entier n
Sortie : vrai si on rencontre un Pile faux sinon.
La fonction suivante retourne vrai lorsque l'un des lancers est égal à 6 et false sinon.
fonction jeuDePile(val n:integer):booléen; var i: entier; début pour i allant de 1 à n faire f=résultat_lancer_pièce() si (f==pile) alors retourner(VRAI) finsi finpour retourner(faux) fin
finFonction
Source Python
C>pile(n)= O(n) (On ne tire jamais de Pile)
C<pile(n)= O(1) (On tire un Pile le premier coup)
Les faces du dé apparaissent de manière équiprobables et les tirages sont indépendants. On peut montrer que le coût moyen de l'algorithme est Cpile(n)=O(1).
Les courbes "étalon"
2n, nn, n!
Définition 5.1. Un tableau est une table d'association à clé unique telle que
le nombre d'éléments de la table (dimension ou taille) est constant,
l'accès aux éléments s'effectue directement par la clé, les valeurs minimum et maximum des clés sont des constantes.
On écrit en EXALGO nom_tableau=tableau[min_indice..max_indice] de type_predefini;
ce qui signifie que les éléments ont pour type le type_prédéfini
les indices des éléments vont de min_indice à max_indice, avec min_indice<max_indice,
La taille du tableau est donc max_indice-min_indice+1.
Pour accéder à un élément d'un tableau T d'indice I, on écrit T[I]. La complexité de l'accès à un élément du tableau est O(1).
Notation Soit min_indice<i<j<max_indice, notera T[i..j] la séquence des éléments de T (T[i],T[i+1], ,T[j]).
Beaucoup d'algorithmes peuvent être décrits sans préciser un type particulier. Dans ce cas, on écrira à la place de type_prédéfini le mot élément et on précisera les valeurs possibles pour élément.
Exemple 5.1.
Soit deux tableaux
TC=tableau[1..10]de car;
TE=tableau[1..10]d'entiers;
L'algorithme qui permet de trier TC et TE est le même. Seul différe le type de l'élément manipulé. On écrirera dans ce cas un algorithme sur un tableau
T=tableau[1..10]d'éléments; et on précisera que élément est dans {car,entier}.
Les paramètres tableaux doivent, sauf raison majeure, être passés en paramètre par référence afin d'éviter la recopie.
fonction init(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'éléments; val valeurInitiale:élément):vide; var i:entier; début
pour i allant de min_indice à max_indice faire T[i]= valeurInitiale finpour fin finfonction
Complexité: O(n).
fonction taille(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'élément):entier; début retourner(max_indice-min_indice+1) fin finfonction
Complexité: O(1).
fonction echange(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'élément; val indice1,indice2: entier):vide; var e:élément; début e=T[indice1];
T[indice1]=T[indice2]; T[indice2]=e; fin finfonction
Complexité: O(1).
fonction copie(ref T1,T2:tableau[min_indice..max_indice] d'élément; val indiceT1_1,indiceT1_2,indiceT2: entier):booleen; var i:entier; début si indiceT2+indiceT1_2-indiceT1_1>max_indice alors retourner(faux) sinon
pour i allant de indiceT1_1 à indiceT1_2 faire T2[indiceT2]=T1[i]; indiceT2=indiceT2+1; finpour retourner(vrai) fin finfonction
fonction somme(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'entiers):entier; var s,i:entier; début s=0;
pour i allant de min_indice à max_indice faire s=s+T[i] finpour retourner(s) fin
Complexité: O(n)
Propriété 5.2. Soit i,j deux entiers, i<=j. Soit T un tableau d'éléments d'indice variant entre i et j. Pour tout élément e, appartenant au tableau
T, on a
T[i]=e ou e est dans T[i+1..j]
fonction cherche(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'élément; val e:élément):entier; var i:entier; début pour i allant de min_indice à max_indice faire si T[i]==e alors retourner(i) finpour retourner() fin finfonction Complexité minimum : O(1) maximum : O(n) Source Python
On suppose que le tableau contient des éléments comparables (l'ensemble des éléments est muni d'une relation d'ordre). Choisissons ici, pour simplifier les notations, des entiers.
Propriété 5.3.. Soit i,j deux entiers, i<=j. Soit T un tableau d'entiers d'indice variant entre i et j. Soit m l'élément minimum du tableau, on a T[i]=m ou m est dans T[i+1..j]
fonction minimum(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'entier):entier; var i,sauv:entier; début sauv=min_indice;
pour i allant de min_indice+1 à max_indice faire si T[i]<T[sauv] alors sauv=i finsi finpour retourner(sauv) finfonction
Complexité : O(n)
Une matrice M de dimension nxm est un tableau de dimension n dont chaque élément est un tableau de dimension m. On peut donc déclarer la matrice sous la forme suivante
var M:tableau[1..n]de tableau [1..m] d'éléments;
fonction initMatrice(ref M:tableau[1..n] de tableau [1..m] d'éléments; val valeurInitiale:élément):vide; var i,j:entier; début pour i allant de 1 à n faire pour j allant de 1 à m faire M[i][j]=valeurInitiale finpour finpour retourner() finfonction
Complexité : O(nm)
fonction sommeMatrice(ref M1,M2:tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels):
tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels; var i,j:entier; var M:tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels; début pour i allant de 1 à n faire pour j allant de 1 à m faire M[i][j]=M1[i][j]+M2[i][j]; finpour finpour retourner(M) finfonction
Complexité : O(nm)
Remarque préliminaire
On considèrera dans tout ce chapitre que l'on manipule des entiers. L'objet du tri est d'ordonner une séquence de N entiers. On considèrera que ces entiers sont rangés dans un tableau
var T:tableau[1..N] d'entiers;
Ce tri est basé sur l'algorithme de recherche du minimum On adapte cet algorithme pour pouvoir effectuer la recherche dans un sous-tableau. On a le déroulement ici
fonction minimumSoustableau(ref T:tableau[1..N] d'entiers, val Imin,Imax:entier):entier; var sauv:entier; début sauv=Imin; pour i allant de Imin+1 à Imax faire si T[i]<T[sauv] alors sauv=i; finsi finpour retourner(sauv); fin finfonction
fonction triSelection(ref T:tableau[1..N] d'entiers):vide; var i,j,indice_cle:entier; début pour i allant de 1 à N-1 faire indice_cle=minimumSoustableau(T,i,N); echange(T[i],T[indice_cle]); finpour fin finfonction
Propriété 6.1. La complexité de l'algorithme triSelection sur une instance de taille N est O(n2)
Propriété 6.2. Soit T un tableau d'entiers trié d'indice variant entre i et j. Soit e un entier quelqconque, alors on a l'une des propriétés suivantes :
e?T[i] il existe un unique entier k dans [i..j-1] tel que T[k]<e?T[k+1] e>T[j]
On déduit de cette propriété deux algorithmes permettant de trier un tableau.
fonction triInsertion(ref T:tableau[1..N] d'entiers):vide; var i,j,cle:entier; début
pour i allant de 2 à N faire cle=T[i]; j=i-1;
tant que j>0 et T[j]>cle faire T[j+1]=T[j]; j=j-1;
fintantque T[j+1]=cle; finpour fin
On a le déroulement iciPropriété 6.3. La complexité de l'algorithme triInsertion sur une instance de taille N est :
au minimum en O(N), au maximum et en moyenne en O(N2).
Idée de la démonstration
La boucle pour s'effectue systématiquement et demandera O(N)opérations. La boucle tant que effectue au minimum 1 opération (cas ou les nombres sont déjà trié) et au maximum O(N) .
La boucle tant que effectue en moyenne O(N/2) opérations.
fonction triBulle(ref T:tableau[1..N] d'entiers):vide; var i,j,cle:entier; début pour i allant de 1 à N-1 faire pour j allant de N à i+1 par pas de -1 faire si T[j]<T[j-1] alors echange(T,j,j-1); finsi finpour finpour fin
On a le déroulement ici
Propriété 6.4. La complexité de l'algorithme triBulle sur une instance de taille N est O(N2).
Lorsque deux tableaux T1 et T2 sont triés il est aisé de construire un nouveau tableau contenant la séquence trié regroupant les séquences correspondantes à T1 et T2.
PREMIERE VERSION fonction fusion(ref T1:tableau[1..N1] d'entier; ref T2:tableau[1..N2] d'entier ):tableau[1..N1+N2] d'entier; var I1,I2,i:entier; var T:tableau[1..N1+N2]d'entier; début I1=1; I2=1; pour i allant de 1 à N1+N2 faire si T1[I1]?T2[I2] alors
T[i]=T1[I1]; I1=I1+1; sinon T[i]=T2[I2]; I2=I2+1; finsi finpour retourner(T) fin finfonction Complexité : O(n)
Attention, cette version ne fonctionne pas toujours. Par exemple, si I1 a dépassé N1 et vaut par exemple N1+1, on comparera T1[N1+1] à T2[I2] ce qui n'a pas de sens. Il faut donc utiliser un algorithme exact. On a le déroulement ici
Soit une séquence d'éléments de [0..k], il est alors possible de réaliser l'histogramme des valeurs. Par suite le tri des élements de la séquence se fait en temps linéaire O(n).
fonction triHisto(ref T:tableau[1..N] d'entiers):vide; var H:tableau[0..maximum(T)] d'entier; var i,j,k,max: entier; début init(H,0);
pour i allant de 1 à N faire H[T[i]]=H[T[i]]+1; finpour i=1; max:=maximum(T); pour j allant de 0 à max faire pour k allant de 1 à H[j] faire T[i]=j; i=i+1; finpour finpour fin finfonction
On a le déroulement ici
On considère que une nouvelle fonction copie qui copie un tableau dans un autre même si ils n'ont pas la même définition. L'en-tête de la fonction est :
fonction copie(ref T1:tableau[1..N1] d'élément; ref T2:tableau[1..N2] d'élément;
val indiceT1_1,indiceT1_2,indiceT2: entier):vide; Le shéma de la fonction fusion est alors le suivant.
fonction fusion(ref T1:tableau[1..N1] d'entier; ref T2:tableau[1..N2] d'entier ):tableau[1..N1+N2] d'entier; var I1,I2,i:entier; var T:tableau[1..N1+N2]d'entier; début
Initialiser I1,I2,i tant que I1?N1 et I2?N2 faire
On compare tant qu'il reste des éléments dans T1 et T2 fintantque si I1?N1 alors il n'y a plus d'éléments dans T2 :copier( .) sinon il n'y a plus d'éléments dans T1 :copier( .) finsi retourner(T) fin finfonction
fonction fusion(refT1:tableau[D1..N1] d'entier; ref T2:tableau[D2..N2] d'entier ):tableau[1..N1+N2-D1-D2+2] d'entier; var I1,I2,i:entier; var T:tableau[1..N1+N2-D1-D2+2]d'entier; début i=1; I1=D1; I2=D2;
tant que I1?N1 et I2?N2 faire si T1[I1]?T2[I2] alors
T[i]=T1[I1]; I1=I1+1; sinon T[i]=T2[I2]; I2=I2+1; finsi i=i+1 fintantque si I1?N1 alors copier(T1,T,I1,N1,i) sinon
copier(T2,T,I2,N2,i) finsi retourner(T) fin finfonction
fonction fusion(refT1:tableau[D1..N1] d'entier; ref T2:tableau[D2..N2] d'entier; val DT1,FT1,DT2,FT2:entier):
tableau[1..FT1+FT2-DT1-DT2+2] d'entier; var I1,I2,i:entier; var T:tableau[1..FT1+FT2-DT1-DT2+2]d'entier; début i=1; I1=DT1; I2=DT2; tant que I1?FT1 et I2?FT2 faire si T1[I1]?T2[I2] alors
T[i]=T1[I1]; I1=I1+1; sinon T[i]=T2[I2]; I2=I2+1; finsi i=i+1 fintantque si I1?FT1 alors copier(T1,T,I1,FT1,i) sinon copier(T2,T,I2,FT2,i) finsi retourner(T) fin finfonction
Comme vu au chapitre Codage et structures de contrôle,on peut déclarer dans une fonction des variables et des fonctions locales.
fonctionNomDeFonction(ListeParamètres):TypeRésultat; //déclarations des variables ou fonctions locales début
// partie instruction qui contient l'appel à retournefinfinFonction
La multi-imbrication possible des fonctions entraîne l’existence de problèmes de visibilité : entre les variables et entre les fonctions.
Règle 1 : Une variable V (locale ou non) est visible depuis sa déclaration jusqu’au marqueur finFonction de la fonction F où elle a été déclarée. Règle 2 : Si une fonction G est locale à F et déclare une variable V déjà déclarée dans F alors la variable originelle est momentanément cachée.
Soit la fonction P suivante
fonction P ( .): .; var x,y,z : entier ;
fonction R():vide; var z,u,v : entier ; début z=0; u=6; fin ; finFonction
fonction Q(ref x:entier ): .; var u,y : entier ; début y=4; x=x+y; u=7 fin ; finFonction
début x=1; y=2; z=3;
R()
Q(z); fin finFonction
La fonction P déclare 3 variables locales x, y, z et deux fonctions locales Q et R,
La fonction Q déclare 2 variables locales u, y et un paramètre x,
La fonction R déclare 3 variables locales z, u et v. On a le déroulement ici
Une fonction est visible depuis la fin de son entête jusqu’au finFonction de la fonction où elle a été déclarée. Cependant comme pour les variables, elle peut momentanément être cachée par une autre fonction ayant la même entête (surcharge).
La fonction P suivante est anotée pour préciser la visibilité des fonctions Q,R,T.
fonction P( .): .;
..
fonction Q( .): ..;
..
fonction R( ): ..;
. début
.// on peut utiliser P,Q,R fin finFonction ; début
.// on peut utiliser P,Q,R finFonction fonction T( ): ; début
.// on peut utiliser P,Q,T mais pas R finFonction ; début
//// on peut utiliser P,Q,T mais pas R fin finFonction
La récursivité consiste à remplacer une boucle par un appel à la fonction elle-même. Considérons la suite factorielle, elle est définie par :
0!=1 n!=n(n-1)!
La fonction peut s'écrire simplement
fonction factorielle(val n:entier):entier; début si (n==0) retourne(1) sinon
retourne(factorielle(n-1)*n) finsi
fin finfonction;
On a le déroulement ici. On peut décrire sur le papier les changements et les appels sous la forme suivante :
Plusieurs appels à la fonction peuvent être exécutés dans son corps. Soit la suite dite de Fibonacci définie par :
u0=1 u1=1
un=un-1+un-2 pour n > 2
la fonction s'écrit tout aussi simplement
fonction fibo(val n:entier):entier; début si (n==0) ou (n==1) alors retourne(1) sinon retourne(fibo(n-1)+fibo(n-2)) finsi fin finfonction;
On a le déroulement ici On peut décrire sur le papier les changements et les appels sous la forme suivante :
Examinons la suite définie par
u1=1 un=un-1+n pour n > 1
Une fonction permettant le calcul de son nième terme est :
fonction suite(val n:entier):entier; var i,s:entier; début s=0;
pour i allant de 1 à n faire s=s+i; finpour; retourner(s) fin finfonction;
L'exemple ci-dessus devient en algorithme récursif :
fonction suiteR(val n:entier):entier; début si n==1 alors retourne(1) sinon
retourne(suiteR(n-1)+n) finsi fin finfonction;
La complexité en nombre d'opération de suite et suiteR est en O(n). On aurait donc tendance à préférer suiteR pour sa lisibilité. Cependant si on examine la complexité en mémoire, suite est en O(1) alors que suiteR est en O(n). La programmation non récursive est donc plus efficace.
L'utilisation de la récursivité ne doit pas se faire au détriment de l'efficacité.
Chaque fois que l'on désire programmer une fonction récursive, on doit répondre aux questions suivantes :
Comment le problème au rang n se déduit il de la solution à un (des) rang(s) inférieurs ?
Quelle est la condition d'arrêt de la récursivité ?
fonction cherche(ref T:tableau[min_indice..max_indice] d'élément; val e: élément):entier; début si T[min_indice]==e alors retourner(min_indice) sinon si min_indice == max_indice alors retourner(NULL) sinon retourner(cherche(T[min_indice+1..max_indice],e)) finsi finsi fin finfonction
fonction minimumTableau(ref T:tableau[1..N] d'entiers; val Imin:entier):entier; var sauv:entier; début si Imin==N alors retourner(T[N]) sinon
sauv= minimumTableau(T,Imin+1]; si T[Imin]<sauv alors retourner(T[Imin]) sinon retourner(sauv) finsi finsi fin finfonction
La dichotomie fait partie des méthodes dites "diviser pour régner". Elle consiste pour un objet de taille N à exécuter un algorithme de façon à réduire le problème à un objet de taille n/2. On répète alors l'algorithme de réduction sur ce dernier objet. Ainsi, il suffit de connaitre la résolution pour un problème de taille faible (typiquement N=1 ou N=2) pour obtenir la totalité de la résolution. Ce type d'algorithme est souvent implémenté de manière récursive. Lorsque cette technique est utilisable, elle conduit à un algorithme très efficace et très lisible.
Il est parfois nécessaire de prétraiter les données avant d'appeler la fonction récursive. La fonction récursive est alors une fonction locale à la fonction d'appel.
Soit g une fonction croissante sur un intervalle [a,b] et telle que f(a)?0 et f(b)?0. L'algorithme ci-dessous permet de trouver la valeur x de [a,b] telle que f(x)=0 avec une précision e.
fonction zero(ref g(val n:réel):fonction;val a,b,e:réel):réel; var M:réel; début
M=g((a+b)/2); si |M|<e alors retourne((a+b)/2) sinon si M>0 alors zero(g,a,(a+b)/2,e) sinon zero(g,(a+b)/2,b,e) finsi finsi fin finfonction
Nous avons déjà traité cet algorithme sous une autre forme au chapitre Tableaux.
Propriété 8.1. T un tableau d'entiers trié d'indice variant entre d et f.
Posons . Soit e un entier appartenant à la séquence contenue dans T. On a l'une des propriétés suivantes : T[m]=e, e est dans la séquence contenu dans T[d..m-1], e est dans la séquence contenu dans T[m+1..f].
fonction cherche(ref T:tableau[1..N]d'entiers; val e:entier):entier; var d,f:entier;
fonction chercheRec(ref T:tableau[1..N]d'entiers; val d,f,e:entier):entier; var m; début si f==d alors si T[d]==e alors retourner(f) sinon retourner(NUL) finsi sinon m=partieEntiere((d+f)/2); si T[m]<e alors retourner(chercheRec(T,m+1,f,e)) sinon retourner(chercheRec(T,d,m,e)) finsi finsi fin finfonction
début d=1; f=N; retourner(chercheRec(T,d,f,e)) fin finfonction
Propriété 8.2. La complexité de la fonction cherche est O(log2(n)).
idée de la preuve La complexité de la fonction cherche est donnée par la complexité de chercheRec. Soit f(n) le nombre de test effectué par cette fonction. On a
f(1)=2.
et donc f(n)=2*(p+1).
L'algorithme de multiplication de deux matrices de dimension nxn s'implémente facilement en O(n3). Strassen a montré qu'en utilisant une méthode diviser pour régner la multiplication peut s'effectuer en O(nln(7)/ln(2))(courbes).
Un algorithme diviser pour régner a la structure suivante :
1. construire une solution élémentaire pour n?n0
2. pour résoudre un problème de taille n>n0, l'algorithme consiste à décomposer le problème en sous-problèmes ayant tous la taille n/b (peut-être approximativement)
3. à appliquer l'algorithme à tous les sous-problèmes
4. à construire une solution du problème en composant les solutions des sous-problèmes.
La complexité en temps de l'algorithme est donc déterminée par une équation de récurrence de la forme :
qui après résolution permet de montrer que cette méthode conduit à des algorithmesINF102 - 2007 plus efficaces en nombre d'opérations. Cependant, ceci ne doit pas occulter l'aspect mémoire. La complexité en mémoire doit rester d'un ordre raisonnable. (cf récursivité).
On considèrera dans tout ce chapitre que l'on manipule des entiers. L'objet du tri est d'ordonner une séquence de N entiers. On considèrera que ces entiers sont rangés dans un tableau
var T:tableau[1..N] d'entiers;
De plus, on considèra que l'ordre est croissant.
Cet algorithme consiste à diviser la séquence d'entiers en deux sous-séquences, à les trier de manière récursive, puis à fusionner les deux sous-séquences triées. On utilise la fonction fusion vue au chapitre tris non récursifs
fonction triFusion(ref T:tableau[1..N]d'entiers):vide; var d,f:entier;
fonction fusionLocal(ref T:tableau[1..N] d'entier; val d,m,f:entier):vide; var C:tableau[1..f-d+1]d'entier; début
C:=fusion(T,T,d,m,m+1,f); copie(C,T,d,f,d); fin finfonction
fonction triFusionRec(ref T:tableau[1..N]d'entiers; val d,f:entier):vide; début si d<f alors m=partieEntiere((d+f)/2); triFusionRec(T,d,m); triFusionRec(T,m+1,f); fusionLocal(T,d,m,f); finsi fin finfonction début trifusionRec(T,1,N) fin finfonction On a le déroulement ici
Propriété 9.1. La complexité du tri fusion pour une séquence de n éléments est O(nlog2(n)).
idée de la preuve La complexité de la fonction triFusion est donnée par la complexité de triFusionRec. Soit f(n) le nombre de test effectué par cette fonction. On a
f(1)=0.
Soit p tel que 2p?n? 2p+1. On a donc p?log2(n)? p+1.
On en déduit
et
Cet algorithme consiste à utiliser une valeur x de la séquence pour diviser la séquence d'entiers en deux sous-séquences: l'ensemble des valeurs inférieures ou égales à x l'ensemble des valeurs supérieures à x.
Puis la procédure s'effectue récursivement sur les deux sous séquences.
fonction triRapide(ref T:tableau[1..N]d'entiers):vide;fonction diviserSequence(ref T:tableau[1..N] d'entier; val d,f:entier):entier; var x,i:entier; début x=T[f]; i=d-1; pour j allant de d à f-1 faire si T[j]?x alors i=i+1; echanger(T,i,j); finsi finpour echanger(T,i+1,f); retourner(i+1); fin finfonction
fonction triRapideRec(ref T:tableau[1..N]d'entiers; val d,f:entier):vide; var p:entier; début si d<f alors p=diviserSequence(T,d,f); triRapideRec(T,d,p-1); triRapideRec(T,p+1,f); finsi fin finfonction début triRapideRec(T,1,N) fin finfonction
On a le déroulement ici
Propriété 9.2. La complexité du tri rapide pour une séquence de n éléments est au maximum en O(n2), en moyenne et au minimum en O(nlog(n)).
Décrire une structure permettant de gérer des polynômes définis sur les réels. Ecrire un ensemble de primitives associées permettant les principales opérations.
On note n le degré (resp. le degré maximum) du pôlynome (resp. des pôlynomes).
Un pôlynome peut être défini par son degré et un tableau contenant les coefficients. On définit également une primitive d'initialisation.
constante Taille=200; type polynome=structure coeff:tableau[0..200]de rééls; degre: entier; finstructure
fonction init(ref p:polynome):vide; var i:entier; début
p.degre=0;
pour i allant de 0 à Taille faire
p.coeff[i]=0; finpour fin finfonction Addition
On notera l'analogie avec l'algorithme de fusion de tableau.
fonction ajoute(ref p1,p2:polynome):polynome; var p:polynome; var m,i:entier; début m=min(p1.degre,p2.degre); pour i de 0 à m faire
p.coeff[i]=p1.coeff[i]+p2.coeff[i] finpour; si m<p1.degre alors pour i de m+1 to p1[degre] do
p.coeff][i]=p1.coeff][i]; finpour:
p.degre=p1.degre; sinon
pour i de m+1 to p2[degre] do
p.coeff[i]=p2.coeff[i]; finpour:
p.degre=p2.degre; finsi retourner(p); fin; finfonction;
Complexité : O(n)
fonction multiplie(ref p1,p2:polynome):polynome; var p:polynome; var i,j:entier; début init(p);
p.degre=p1.degre+p2.degre; pour i de 0 à p1.degre; pour j de 0 à p2.degre faire
p.coeff[i+j]=p.coeff[i+j]+p1.coeff[i]*p2.coeff[j]; finpour finpour retourner(p); fin finfonction
Complexité : O(n2)
Soit
.
Le pôlynome opposé est :
.
fonction moins(ref p:polynome):polynome; var i:entier; var m:polynome; début
m.degre=p.degre; pour i de 0 a p.degre faire
m.coeff[i]=-p.coeff[i]; finpour retourner(m) fin finfonction
Complexité : O(n)
fonction decale(ref p:polynome;val n:entier):polynome var i:entier; var d:polynome; début
d.degre=p.degre+n; si n>0 then pour i de 0 a n-1 FAIRE
d.coeff[i]=0; finpour pour i de 0 a p.degre faire
d.coeff[i+n]=p.coeff[i]; finpour sinon pour i de -n a p.degre faire
d.coeff[i+n]=p.coeff[i]; finpour finsi retourner(d) fin finfonction
Complexité : O(n)
fonction deriv(ref p1:polynome):polynome; var p:polynome; var i:entier; début si p1.degre==0 alors
p.degre=0;
p.coeff[0)=0; sinon
p.degre=p1.degre-1; pour i de 1 à p1.degre faire
p.coeff[i-1]=p1.coeff[i] finpour; finsi; retourner(p) fin finfonction
Complexité : O(n)
fonction valeur(ref p:polynome;val x: réél):réél; var f,s,i:réel; début s=0; f=1;
pour i allant de 0 à p.degre faire s=s+f*p.coeff[i]; f=f*x finpour retourner(s) fin finfonction
Complexité : O(n)
fonction integraleDefinie(ref p1:polynome;val x,y: réél):réél; var p:polynome; var s:réel; var i:entier; début
p.degre=p1.degre+1;
p.coeff[0]=0;
pour i allant de 0 à p1.degre faire
p.coeff[i+1]=p1.coeff[i]/(i+1); finpour; retourner(valeur(p,y)-valeur(p,x)) fin
finfonction
Même si en première approche, la complexité ne prend en compte le nombre d'opérations (+, *), en seconde analyse, les multiplications sont beaucoup plus coûteuses que les additions. Ceci est pris en compte dans les algorithmes ci-dessous.
L'algorithme énoncé au paragraphe précédent effectue 2n multiplications. Le schéma d'Horner d'un pôlynome permet d'effectuer n multiplication seulement. Le schéma d'Horner repose sur la propriété suivante : Soit P(X) un pôlynome de supérieur à 0,
.
Alors, P(X) s'écrit :
.
On en déduit le schéma de Horner
.
fonction valeur(ref p:polynome;val x: réél):réél; var s:réel; début s=p.coeff[p.degre]; pour i allant de p.degre-1 à 0 pas de -1 faire s=s*x+p.coeff[i] finpour retourner(s) fin finfonction
Une méthode diviser pour régner permet d'améliorer cet algorithme. Elle est basée sur l'égalité suivante
. Cette égalité signifie, entre autre, que si deux pôlynomes sont de degré 1, il suffit de trois multiplications de réels pour obtenir leur produit.
Les quantités a, b, c, d, y étant quelconque, celles-ci peuvent être elles mêmes des polynômes. Soit le pôlynome
.
. On peut écrire P(X) sous la forme
avec
.
.
De même on a :
,
On peut donc utiliser l'équation du départ avec a=A(x), b=B(x), c=C(x), d=D(x) et
.
De plus, on est amené à calculer des produits de pôlynomes de degré au plus n/2. Il s'agit donc d'une méthode diviser pour régner. La complexité en nombre de multiplications est alors O(nlog23). Comme on notera ci-dessous l'algorithme est plus complexe à écrire mais il est bien plus efficace aussi.
Un prétraitement permet de considérer des pôlynomes de même degré. Il faut donc une fonction "chapeau". On définit de plus deux autres fonctions utiles pour le calcul :
etend : si le degré de P(x) est supérieur au degré de Q(x), alors Q(x) est modifié de manière à ce que les coefficients manquant soient à zéro, et les degrés des deux pôlynomes deviennent ainsi égaux.
tronque : permet d'initialiser un pôlynome avec les premiers termes d'un autre pôlynome (calcul de B(x) et D(x)).
fonction multiplie(ref p,q:polynome):polynome; var p1,p2:polynome;
fonction etend(ref p:polynome;val n:entier):polynome; var i:entier; var r:polynome; début r=decale(p,0);
r.degre=n; pour i de p.degre+1 a n faire
r.coeff[i]=0; finpour; retourner(r); fin finfonction fonction tronque(ref p:polynome;val n:entier) var c:polynome; var i:entier; début
c.degre=n; pour i de 0 a n faire
c.coeff[i]=p.coeff[i]; finpour; retourner(c); fin finfonction fonction multirec(ref p,q:polynome) var a,b,c,d:polynome; var c0,c1,c2:réel; var C0,C1,C2:réel; var m:entier; début selon que cas p.degre==0 retourner(polynome([p.coeff[0]*q.coeff[0]])) cas p.degre==1 c0= p.coeff[0]*q.coeff[0]; c2=p.coeff[1]*q.coeff[1]; c1= (p.coeff[0]+p.coeff[1])*(q.coeff[0]+q.coeff[1]); c1=c1-c0-c2; retourner(polynome([c0,c1,c2])); autrement m=partieEntière(p.degre/2); a=decale(p,-(m+1)); b=tronque(p,m); c=decale(q,-(m+1)); d=tronque(q,m); C2=multirec(a,c);
C0=multirec(b,d);
C1=multirec(ajout(a,b),ajout(c,d));
C1=ajout(c1,ajout(moins(c0),moins(c2)));
C1=decale(c1,1+m);
C2=decale(c2,2+2*m); C0=ajout(c0,ajout(c1,c2)); retourner(C0); finselonque: fin finfonction; début si p.degre>q.degre alors p1=p; p2=etend(q,p.degre); sinon p1=q; p2=etend(p,q.degre); finsi; retourner(multirec(p1,p2)); fin finfonction
Définition 6.1. Une liste est une table d'association à clé unique telle que
le nombre d'éléments de la table (dimension ou taille) est variable, l'accès aux éléments s'effectue indirectement par le contenu de la clé qui le localise appelée pointeur.
La complexité de l'accès à un élément par son pointeur est O(1).
Si p est un pointeur vers un élément alors contenu(p) est l'élément lui-même. Un pointeur qui n'adresse aucun élément a pour valeur NIL. On écrit en EXALGO pour déclarer un pointeur nom_pointeur=^type_predefini;
On écrit en EXALGO pour déclarer une liste type_liste=liste de type_predefini;
La manipulation des éléments de la liste dépend des fonctions définies comme s'exécutant en temps O(1).
Définition 6.2. Une liste est dite simplement chainée si les opérations suivantes s'effectuent en O(1).
accès
fonction premier(val L:type_liste):^type_predefini; fonction suivant(val L:type_liste;
val P:^type_predefini):^type_predefini; fonction listeVide(val L:type_liste):booléen;
modification
fonction créer liste(ref L:type_liste):vide; fonction insérerAprès(val x:type_prédéfini; ref L:type_liste; P:^type_predefini):vide; fonction insérerEnTete(val x:type_prédéfini; ref L:type_liste):vide; fonction supprimerAprès(ref L:type_liste;val P:^type_predefini) fonction supprimerEnTete(ref L:type_liste):vide;
On écrira en EXALGO listeSC pour préciser qu'il s'agit d'une liste simplement chainée.
fonction estDernier(ref L:listeSC de type_prédéfini; ref P:^type_prédéfini):booléen; début retourner(suivant(L,P)=NIL) fin finfonction
fonction chercher(ref L:listeSC de type_prédéfini; ref E:type_prédéfini):^type_predefini; début var p:^type_prédéfini; début si listeVide(L) alors retourner(NIL) sinon p=premier(L); tant que non(estDernier(L,p)) et (contenu(p)!=e) faire p=suivant(L,p); fintantque si (contenu(p)!=e) alors retourner(NIL) sinon retourner(p) finsi finsi fin finfonction Complexité:
minimum : O(1) maximum : O(n)
fonction trouverDernier(ref L:listeSC de type_prédéfini):^type_predefini; var p:^type_prédéfini; début si listeVide(L) alors retourner(NIL) sinon p=premier(L); tant que non(estDernier(L,P)) faire p=suivant(L,p); fintantque retourner(p) finsi fin finfonction
Complexité: O(n).
Définition 6.3. Une liste doublement chainée est une liste pour laquelle les opérations en temps O(1) sont celles des listes simplement chainées auxquelles on ajoute les fonctions d'accès
fonction dernier(val L:type_liste):^type_predefini; fonction précédent(val L:type_liste;
val P:^type_predefini):^type_predefini;
On écrira en EXALGO listeDC pour préciser qu'il s'agit d'une liste doublement chainée.
fonction supprimer(ref L:listeDC de type_predefini; val e: type_prédéfini):booléen; var p,prec,suiv:^type_prédéfini; début p=chercher(L,e); si p==NIL alors retourner(FAUX) sinon si estPremier(L,p) alors supprimerEnTete(L) sinon prec=précédent(L,p); supprimerApres(L,prec); finsi retourner(VRAI) finsi fin finfonction Complexité
fonction taille(val L:type_liste):entier; var p:^type_prédéfini; var t:entier; début si listeVide(L) alors retourner(0) sinon retourner(1+taille(suivant(L,premier(L)))) finsi fin finfonction
Complexité: O(n).
On suppose la liste triée doublement chainée dans l'ordre croissant
fonction insertionTrie(ref L:listeDC de type_prédéfini; val e: type_prédéfini):vide; var p:^type_prédéfini; début si listeVide(L) alors insererEnTete(e,L) sinon si contenu(premier(L))>e alors insererEnTete(e,L) sinon
insererTrie(suivant(L,premier(L)),e) finsi finsi fin finfonction
Complexité moyenne: O(n).
On considèrera dans tout ce chapitre que l'on des valeurs qui correspondent à un caractère.
Pour certaines structures de données, l'ensemble des langages de programmation proposent une traduction immédiate. Pour d'autres, il n'existe pas de traduction immédiate. Il faut alors définir explicitement l'algoritme de chacune des primitives.
Exemple - les listes. On doit définir le stockage de la liste, et en fonction de ce stockage comme s'effectue par exemple l'adjonction.
L'implémentation doit respecter la complexité des primitives à part celle d'initialisation (celle-ci ne s'exécutera qu'une fois).
Exemple - les listes. On utilise souvent les fonctions ajouter et supprimer mais une seule fois creerListe.
Ici nous allons choisir de ranger les éléments dans un tableau "suffisament grand". Chaque élément du tableau est une paire (valeurElement,pointeurSuivant). Un pointeur est la valeur d'un index du tableau ainsi l'accès au suivant est en complexité O(1). La zone de stockage peut donc être décrite par :
elementListe=structure valeur:car; suivant:entier; finstructure; stockListe=tableau[1..tailleStock] d'elementListe;
La valeur du pointeur (champs suivant) est donc un entier compris entre 0 et tailleStock. La valeur 0 correspondant à l'absence d'élément suivant. Le premier élément doit être accessible en O(1), il faut donc conserver son index. Si la liste est vide, par convention, l'index du premier sera 0. On peut donc représenter une liste par la structure suivante :
listeSC_Car=structure tailleStock:entier; premier:entier; vListe:stockListe; finstructure;
Le tableau de stockage étant grand mais pas illimité, il faudra prévoir que la l'espace de stockage puisse être saturé.
Ces fonctions sont immédiates.
fonction premier(val L:listeSC_Car):entier; début retourner L.premier; fin; finfonction
fonction suivant(val L:listeSC_Car,P:entier):entier; début retourner L.vListe[P].suivant; fin finfonction
fonction listeVide(val L:listeSC_Car):booléen; début retourner L.premier==0; fin finfonction
Pour ajouter un élément, il faut pouvoir trouver un élément "libre" dans le tableau. Une première solution consiste à marquer les éléments libres du tableau (par exemple champs suivant de l'élément a pour valeur -1). Dans ce cas, il faudra parcourir le tableau (complexité O(n/2) en moyenne). Par suite, la primitive insérerAprès ne sera plus en complexité O(1) puisqu'il faudra d'abord trouver un élément libre.
Une solution compatible avec la complexité des primitives consiste à gérer cet espace de stockage en constituant la liste des cellules libres. On modifie donc en conséquence la description de listeSC_Car :
listeSC_Car=structure tailleStock:entier; premier:entier; premierLibre:entier; vListe:stockListe; finstructure;
Par convention, l'espace de stockage sera saturé lorsque l'index premierLibre vaut 0 (la liste des cellules libres est vide). On définit donc la fonction de test :
fonction listeLibreVide(val L:listeSC_Car):booléen; début retourner L.premierLibre==0; fin finfonction
On définit deux primitives liées à la gestion du stockage : mettreCellule : met une cellule en tete d'une liste, prendreCellule : supprime la cellule de tete d'une liste.
Les opérations sont respectivement de type insererEnTete et supprimerEnTete.
Préciser la liste sur laquelle s'effectue l'opération revient à préciser le pointeur de tête surlequel on travaille.
fonction prendreCellule(ref L:listeSC_Car,ref tete:entier):entier; var nouv:entier; début nouv=tete; tete=suivant(L,nouv); retourner nouv; fin finfonction
fonction mettreCellule(ref L:listeSC_Car,val P:entier,ref tete:entier):vide; début
L.vListe[P].suivant=tete; tete=P; fin finfonction
fonction créer_liste(ref L:listeSC_Car;val tailleMax:entier):vide; var i:entier; début L.tailleStock=tailleMax;
L.premier=0;
L.premierLibre=1;
pour i allant de 1 à L.tailleStock-1 faire L.vListe[i].suivant=i+1; finpour L.vListe[tailleStock].suivant=0; fin finfonction
fonction insérerAprès(val x:car; ref L:listeSC_Car; val P:entier):bool; var nouv:entier; début si listeLibreVide(L) ou P==0 alors retourner faux; sinon
nouv=prendreCellule(L,L.premierLibre); L.vListe[nouv].valeur=x;
L.vListe[nouv].suivant=suivant(L,P);
L.vListe[P].suivant=nouv; retourner vrai; finsi fin finfonction
fonction insérerEnTete(val x:car;ref L:listeSC_Car):bool; var nouv:entier; début si listeLibreVide(L) alors retourner faux; sinon
nouv=prendreCellule(L,L.premierLibre); L.vListe[nouv].valeur=x; mettreCellule(L,nouv,L.premier); retourner vrai; finsi fin finfonction
fonction supprimerAprès(ref L:listeSC_Car;val P:entier):bool; var suivP:entier; début suivP=suivant(L,P); si P==0 ou suivP==0 alors retourner faux; sinon L.vListe[P].suivant=suivant(L,suivP); mettreCellule(L,suivP,L.premierLibre); retourner vrai; findi fin finfonction
fonction supprimerEnTete(ref L:listeSC_Car):bool; var tete:entier; début si listeVide(L) alors retourner faux; sinon
tete=L.premier; L.premier=suivant(L,tete); mettreCellule(L,tete,L.premierLibre); retourner vrai; findi fin finfonction
