Table des matières
Chapitre1: Introduction à l’algorithmique .. 5
I? Les différentes étapes de résolution d’un problème 5
1. Définition et analyse du problème .. 5
2. Ecriture de l’algorithme . 5
3. Programmation de l’algorithme . 6
4. Compilation .. 6
5. Exécution et test du programme .. 6
II? Structure générale d’un algorithme .. 6
1. Schéma général d’un algorithme .. 6
2. Définition d’une variable .. 7
3. Définition d’une constante .. 8
4. Les types de base .. 8
Chapitre 2 : Les instructions simples 10
I? Instruction d’affectation .. 10
1. Les expressions arithmétiques . 10
2. Les expressions logiques . 11
II? Instruction de lecture ou d’entrée .. 11
III? Instruction d’écriture ou de sortie .. 11
Chapitre 3: Les structures conditionnelles 13
I? Structure conditionnelle simple 13
1. Forme simple : (Si …. Alors ….. Finsi) . 13
2. Forme composée : (Si … alors…….sinon) . 14
3. Forme imbriquée 14
II? Structure conditionnelle à choix multiple 15
Chapitre 4: Les structures itératives 16
I? La structure « Pour ….. faire…….Finpour » .. 16
II? La structure « Répéter …. Jusqu’à » 17
III? La structure « Tantque……. Faire…….. Fintantque » .. 18
Chapitre 5 : Les sous programmes 20
I? Les procédures .. 20
1. Les procédures sans paramètre .. 20
2. Les procédures avec paramètres 21
3. Passage de paramètres par valeur . 22
4. Passage de paramètres par variable . 23
II? Les fonctions .. 23
Chapitre 6: Les tableaux 26
I? Les tableaux à une dimension 26
1. Définition 26
2. Utilité . 26
3. Composantes 26
4. Déclaration . 26
5. Accès aux composantes d’un tableau .. 27
6. Chargement d’un tableau .. 27
7. Affichage du contenu d’un tableau 28
8. Méthodes de recherche dans un tableau .. 28
9. Méthodes de tri dans un tableau .. 31
II? Les tableaux à deux dimensions .. 34
1. Définition 34
2. Déclaration . 34
3. Accès aux composantes d’une matrice 35
4. Chargement d’une matrice 35
5. Affichage du contenu d’une matrice 36
Chapitre 7 : La récursivité . 40
I? Notion de récursivité .. 40
II? Etude d’un exemple 40
III? Interprétation 41
IV? Mécanisme de fonctionnement de la récursivité 42
Chapitre 8: Les pointeurs . 44
I? Adressage de variables . 44
1. Adressage direct .. 44
2. Adressage indirect .. 44
II? Les pointeurs .. 45
1. Définition 45
2. Les opérateurs de base 45
III? Paramètres d’une fonction . 47
1. Passage des paramètres par valeur .. 47
2. Passage des paramètres par adresse 49
IV? Allocation dynamique de mémoire . 50
Chapitre 9: Les enregistrements 52
I? Notion d’enregistrements 52
II? Déclaration des variables de type enregistrement . 52 III? Manipulation des variables de type enregistrement . 53
IV? Tableaux d’enregistrement 54 V? Structures comportant d’autres Structures 55
VI? Les pointeurs sur structures et accès aux données 56
Chapitre 10: Les listes chaînées . 60
I? Les listes simplement chaînées . 60
1. Définition 60
2. Description . 60
3. Manipulation des LSC 61 II? Les listes doublement chaînées 67
1. Définition 67
2. Environnement type d’une LB . 68
3. Manipulation des LB . 68
Chapitre 11 : Les Arbres 73
I? Les arbres généraux 73
1. Définitions .. 73
2. Exemples d’application 75
II? Les arbres binaires .. 75
1. Déclaration . 76
2. Fonction de création d’un nœud 76
3. Fonction de création d’une feuille . 76
4. Parcours d’un arbre binaire .. 77
5. Primitives d’un arbre binaire 81
Chapitre1: Introduction à l’algorithmique
I- Les différentes étapes de résolution d’un problème
Pour résoudre un problème en informatique, il faut passer par 5 étapes :
? Définition et analyse du problème
? Ecriture de l’algorithme
? Programmation
? Compilation du programme
? Exécution et test du programme
1. Définition et analyse du problème
Il s’agit de :
? Définir les données qu’on dispose et les objectifs qu’on souhaite atteindre
? Prévoir des réponses à tous les cas envisageables
Exemple : Si le problème est la résolution d’une équation de second degré ax2+bx+c =0
? Les données sont a, b et c
? Les sorties sont x1 et x2
? Les cas : a=0 et b?0, a =0 et b =0, a ?0 ……
2. Ecriture de l’algorithme
C’est la phase la plus difficile et importante, elle fournit la méthode et la démarche que l’ordinateur va suivre pour résoudre le problème posé.
? Définition d’un algorithme :
Un algorithme est une séquence d’étapes de calcul qui utilise des données en entrée pour arriver à des résultats en sortie.
3. Programmation de l’algorithme
Il s’agit d’exprimer l’algorithme dans un langage connu par l’ordinateur. Il faut donc choisir un langage de programmation et ensuite traduire l’algorithme sous forme d’un programme exprimé dans ce langage.
4. Compilation
Il s’agit de traduire le programme écrit dans un langage de haut niveau en un programme exécutable écrit dans un langage binaire de bas niveau tout en détectant les éventuelles erreurs. Cette tâche est réalisée par le compilateur.
5. Exécution et test du programme
Il s’agit de s’assurer que le programme donne un résultat correct dans tous les cas et pour toutes les éventualités.
? Effectuer plusieurs jeux de tests correspondant aux différents cas et vérifier la validité des résultats.
II- Structure générale d’un algorithme
1.Schéma général d’un algorithme
Un algorithme comporte généralement deux parties :
? Partie déclarative : elle contient l’entête, la déclaration des constantes et celle des variables.
? Partie corps de l’algorithme : elle consiste en une séquence d’actions faisant appel à des opérations de base de l’ordinateur.
Syntaxe :
Algorithme « nom de l’algorithme »
Const
« Liste des constantes avec leurs valeurs » Partie déclarative
Var
« Liste des variables suivies par leurs types »
Début
« Séquence d’actions » Fin
Une action peut être :
? Action d’affectation ou,
? Action d’entrée- sortie ou,
Partie corps de l’algorithme
? Action de contrôle conditionnelle simple ou à choix multiple ou, ? Action de répétition.
2.Définition d’une variable
Une variable est un emplacement mémoire capable de contenir des valeurs de type défini au préalable. Elle peut être définie comme une boite qui admet un nom, une taille, un contenu et une adresse.
? Le nom de la variable s’appelle identificateur de la variable.
? La taille dépend du type de la variable (exemple : 2 octets pour un entier, 1 octet pour un caractère, 4 octets pour un réel…)
? L’adresse désigne le numéro du 1er octet occupé par cette variable en mémoire centrale
Dans un algorithme, les variables sont déclarées comme suit :
Var
Liste des variables suivies par des virgules : type 1
Liste des variables suivies par des virgules : type 2
. .
Liste des variables suivies par des virgules : type i ? Dans un algorithme, on peut avoir 0 à plusieurs variables.
Exemple :
Var
X, Y : entier
3. Définition d’une constante
La définition d’une constante est la même que celle d’une variable à la différence que la valeur d’une constante reste inchangée tout au long de l’algorithme. Syntaxe :
Const
Nom const 1 = val 1
Nom const i = val i Exemple: Const
Min = 10
Max = 200
4. Les types de base
A toute variable est attribué un type qui définit :
? L’ensemble des valeurs que peut prendre la variable
? L’ensemble des opérations qu’on peut appliquer sur la variable
Il existe des types simples qui sont prédéfinis tels que les types : entier, réel, caractère ou booléen.
a) Type entier
- Il représente l’ensemble des entiers relatifs tel que : 8, -10, 3……
- Les opérations permises sont : +, -, *, div (division entière) et mod ( reste de la division entière)
b) Type réel
- Il représente l’ensemble IR
- Deux formes de représentation : La forme usuelle « a.b » exemple : -4.6, 13.9 ….. ou la forme scientifique a E b exemple : 345 = 3.45 E2 = 0.345 E3
- Les opérations permises sont : +, -, *, /
c) Type caractère
- Il peut être une lettre, un chiffre ou caractère spécial exemple : ‘a’, ‘b’, ‘3’ ….
- Les opérations permises : =, ?, <, <=, >, >=.
d) Type booléen
- Il représente les deux valeurs ‘Vrai’ et ‘Faux’
- Les opérations : NON, ET, OU
Remarque : Il existe des types composés définis à partir des types de base comme les tableaux, les chaînes de caractère….
Chapitre 2 : Les instructions simples
I- Instruction d’affectation
Cette action permet de ranger une nouvelle valeur dans une variable
Syntaxe
Identificateur var ? <expression> - Expression peut être :
• Une variable
• Une constante
• Une expression arithmétique
• Une expression logique
Remarque
- Une constante ne peut jamais figurer à gauche d’une affectation.
- Après une affectation, l’ancien contenu est perdu pour être substitué par le nouveau contenu.
- Une action d’affectation doit se faire entre deux types compatibles.
1.Les expressions arithmétiques
<exp-arith> op_arith <exp-arith>
- Op_arith peut être ‘+’, ‘-‘, ‘/’ ou ‘*’ Exemple : (Y/2) + x*3
- L’ordre de priorité des opérateurs arithmétiques :
- signe négatif
( ) parenthèses
^ puissance
* et / multiplication et division
+ et – addition et soustraction
2.Les expressions logiques
- Les expressions logiques admettent Vrai ou Faux comme résultat.
- Elles peuvent utiliser des opérateurs relationnels ( = , ?, <,<=, >, >=) ou des opérateurs logiques (NON, ET, OU) - L’ordre de priorité est :
| NON ET OU | > >= < <= = ? |
Exemple : (x<6) ET (Y = 20) donne vrai si x<6 et Y = 20 et faux sinon II- Instruction de lecture ou d’entrée
- Elle permet d’affecter, à une variable, une donnée introduite) partir d’une périphérique d’entrée (clavier).
- Syntaxe :
Lire (nom_var1, nom_var2,……) - Exemple :
Lire(A) : lit une valeur à partir du périphérique d’entrée et la range dans la case mémoire associée à A.
Lire(X,Y) : lit deux valeurs la première pour X et la deuxième pour Y.
III- Instruction d’écriture ou de sortie
- Elle permet d’afficher des résultats sur un périphérique de sortie (écran). Ce résultat peut être :
• Une chaîne de caractères délimitée par des ‘’ ‘’
• La valeur d’une variable dont le nom est spécifié
• La valeur d’une expression Syntaxe :
Ecrire (Liste d’expressions séparées par des virgules) - L’ordinateur évalue tout d’abord l’expression puis affiche le résultat obtenu Exemple :
Lire (somme)
Lire(Nbre)
Ecrire (‘’La moyenne est :’’, somme / Nbre)
Si l’utilisateur introduit 120 pour somme et 10 pour Nbre alors l’affichage sera : La moyenne est 12.
¾ Exercice 1 :
Ecrire un algorithme qui lit deux entiers X et Y et affiche leurs valeurs avant et après permutation
¾ Exercice 2 :
Ecrire un algorithme qui lit trois entiers et qui calcule et affiche leur somme, leur produit et leur moyenne.
Chapitre 3:Les structures conditionnelles
Introduction
En programmation, on est souvent confronté à des situations ou on a besoin de choisir entre 2 ou plusieurs traitements selon la réalisation ou non d’une certaine condition d’ou la notion de traitement conditionnel. On distingue deux structures de traitement conditionnel à savoir :
? La structure conditionnelle simple qui consiste à évaluer une condition (expression logique à valeur vrai ou faux) et d’effectuer le traitement relatif à la valeur de vérité trouvée.
? La structure conditionnelle à choix multiple qui consiste à évaluer une expression qui n’est pas nécessairement à valeur booléenne (elle peut avoir plus de deux valeurs) et selon la valeur trouvée, effectue un traitement.
I- Structure conditionnelle simple
1.Forme simple : (Si …. Alors ….. Finsi)Syntaxe :
Si condition Alors action(s)
Fin si
Dans cette forme, la condition est évaluée. Si elle vaut vrai alors c'est la séquence d'actions qui est exécutée sinon c'est l'action qui suit l'action conditionnelle dans l'algorithme qui est exécutée.
L’exécution de cette instruction se déroule selon l’organigramme suivant :
Si
Exemple 1 : Ecrire un algorithme qui permet de saisir un entier et d’afficher impossible d’être diviseur si cet entier est égal à 0.
2.Forme composée : (Si … alors…….sinon)
Syntaxe :
Si condition Alors
Action(s)1
Sinon
Action(s)2
Fin si
Dans cette forme, la condition est évaluée. Si elle vaut vrai alors c'est la séquence d'actions 1 qui sera exécutée sinon c'est la séquence d’actions 2 qui sera exécutée. L’exécution de cette instruction se déroule selon l’organigramme suivant :
Exemple 2 :
Ecrire un algorithme qui permet de saisir un entier et d’afficher « pair » si cet entier est pair ou « impair » si cet entier est impair.
3.Forme imbriquée
Syntaxe
Si condition 1 Alors
Action(s)1
Sinon
Si condition 2 Alors Action(s)2
Sinon
Si condition N-1 Alors
Action(s)N-1 Sinon
Action(s)N
Fin si
Si la condition est vraie, alors la séquence d’actions 1 sera exécutée sinon on évalue la condition 2 si elle est vraie la séquence d’actions 2 sera exécutée. Enfin, si aucune des N-1 conditions est vraie alors on exécute la séquence d’actions N.
Exemple :
Ecrire un algorithme qui permet de saisir deux entiers A et B puis teste si A>B ou A<B ou A=B.
II- Structure conditionnelle à choix multiple
Syntaxe
Selon <sélecteur> faire
<liste de valeurs1> : <traitement 1>
<liste de valeurs2> : <traitement 2> …..
…..
<liste de valeursN> : <traitement N>
Sinon
<traitement N+1>
Fin selon
? Le sélecteur est un identificateur
? <traitement i> est une séquence d’actions.
? <liste de valeurs i> peut être une constante ou un intervalle de constantes de même type que sélecteur.
? La partie sinon est facultative. Elle est exécutée si aucune des valeurs n’est égale au sélecteur.
Exemple :
Ecrire un algorithme qui permet de lire un numéro de jour de la semaine (compris entre 1 et 7) et d’afficher le nom du jour en toute lettre.
Chapitre 4: Les structures itératives
Introduction
On peut exécuter une action ou un ensemble d’actions non pas infiniment mais un certain nombre de fois : c’est la notion de boucles.
I- La structure « Pour ….. faire…….Finpour »
Syntaxe
Pour vc de vi à vf faire Traitement
Finpour
? Vc : compteur de type entier
? Vi et vf : valeur initiale et valeur finale de vc
? Traitement : action ou séquence d’actions à répéter (vf-vi +1) fois.
? La boucle Pour est utilisée lorsque le nombre d’itération est connu à l’avance.
? Vc reçoit une valeur initiale vi pour la première fois, il ne doit pas être modifié par une action de traitement à l’intérieur de la boucle.
? Vc est incrémenté automatiquement par 1 à chaque exécution du corps de la boucle Pour.
Cette valeur d’incrémentation est appelée le pas de la boucle. ? L ‘exécution de la boucle finit lorsque vc atteind vf.
Schéma d’exécution d’une boucle « Pour »
Exemple :
Pour i de 1 à 5 faire
Ecrire (i * 100)
Fin pour
Exécution : i = 1 2 3 4 5 6
Résultat 100 200 300 400 500
Remarques :
? Une boucle peut être exécutée une ou plusieurs fois.
? Si le pas est différent de 1, il faut ajouter l’option ( pas = constante)
Exemple
Pour i de 5 à 1 (pas = -1) faire Ecrire (i * 100)
Fin pour
Exécution : i = 5 4 3 2 1 0
Résultat 500 400 300 200 100
Exemple 1
Ecrire un algorithme qui permet de calculer et d’afficher la somme des nb premiers entiers naturels (nb est saisi à partir de clavier).
Exemple 2
Ecrire un algorithme qui lit un entier n qu’on suppose positif puis affiche tous ses diviseurs.
II- La structure « Répéter …. Jusqu’à »
Syntaxe
Répéter
Traitement
Jusqu’à (condition)
? Condition : condition d’arrêt et de sortie de la boucle
? Traitement : action ou ensemble d’actions à exécuter tant que la condition n’est pas vérifiée, dés qu’elle soit vérifiée, l’exécution du traitement s’arrête.
? Le nombre de répétition n’est pas connu à l’avance.
? Le traitement est exécuté au moins une fois quelque soit le résultat de la condition.
? La condition doit être initialisée avant le début de la boucle et doit être modifiée à l’intérieur de la boucle.
Exemple i ? 1 Répéter
Ecrire ( i *100) i? i +1
jusqu’à ( i > 5)
Exécution : i = 1 2 3 4 5 6
Résultat 100 200 300 400 500
Exemple
Ecrire un algorithme qui permet de calculer la somme des nb premiers entiers en utilisant la boucle répéter jusqu’à
Exemple
Ecrire un algorithme qui permet de calculer la factorielle d’un entier n donné (on suppose que n est un entier positif)
III- La structure « Tantque……. Faire…….. Fintantque »
Syntaxe
Tantque (condition) faire Traitement
Fintantque
? Condition : condition de maintien de la boucle.
? Traitement : Action ou ensemble d’actions à exécuter tant que la condition est vérifiée.
? Le traitement est exécuté tant que la condition est vérifiée sinon on sort de la boucle.
? Si la condition n’est pas vraie dés la première exécution, la boucle ne sera jamais exécutée (0 fois).
? Le nombre de répétition n ‘est pas connu à l’avance.
? La condition doit être initialisée avant la boucle et modifiée à l’intérieur de la boucle.
Exemple i ? 1 tantque (i?5) Ecrire ( i *100) i? i +1
Fintantque
Exécution : i = 1 2 3 4 5 6
Résultat 100 200 300 400 500
Exemple
Reprendre les exercices précédents en utilisant la boucle tant que.
Chapitre 5 : Les sous programmes
Introduction
Le but de l’utilisation de sous programmes :
- décomposition des problèmes en modules (sous problèmes de taille réduite) :
o Dans un programme plusieurs séquences d’instructions sont appelées plusieurs fois et depuis divers points du programme. Il serait donc plus intéressant d’isoler ces séquences dans un sous programme qui peut être appelé depuis n’importe quel point du programme. o L’approche modulaire réduit énormément le nombre d’instructions redondantes (qui se répètent) moyennant l’ajout d’une séquence d’appel pour le module à différents endroits du programme. D’où la réduction de la taille du programme (code).
o La lisibilité qui facilite notablement la compréhension du programme
- Réutilisation du sous programme
En résumé, le programme sera plus lisible et plus facile à maintenir (à modifier éventuellement par la suite)
Un sous programme est portion de code analogue à un programme. Déclarée dans un programme ou dans un sous programme et dont la partie instruction peut être exécutée plusieurs fois au cours du traitement du programme grâce à des appels. On distingue deux formes de sous programmes : Les procédures et les fonctions.
I- Les procédures
Une procédure est un sous programme qui effectue un traitement (suite d’instructions)
1.Les procédures sans paramètre
Elles sont utilisées pour éviter d’avoir à réécrire plusieurs fois une même suite d’instructions figurant plusieurs fois dans le programme.
Déclaration
Procédure nom_procédure
Déclarations
DébutFin
Suite d’instructions
Appel (utilisation) nom_procédure Exemple
Algorithme Principal Var x, y : entier
Procédure Affiche
Var
Début Déclaration de la procédure
Ecrire (‘’Bonjour’’)
Fin
Début
Lire(x)
Lire(y)
Permute
Ecrire(x,y)
Fin
2.Les procédures avec paramètres
Exemple
Algorithme Principal
Var x, y : entier
Procédure Permute(var u,v : entier)
Var z : entier Début
z<- u
u<-v v<-z
Fin
Début
…..
Permute(x,y) ….
Permute(a,b) ….
Permute(m,n)
Fin
- Paramètres formels
Une déclaration de procédure peut comporter après le nom de la procédure une liste de paramètres formels dont la syntaxe est la suivante.
Procédure nom_procédure(liste de paramètres formels)
Exemple
Procédure Somme(a, b : entier, var c : entier) Début c<-a+b
Fin
- Paramètres effectifs
Au cas où la déclaration d’une procédure comprend des paramètres formels, chaque appel de cette procédure doit comporter des paramètres effectifs compatibles dont la syntaxe est la suivante.
nom_procédure(liste de paramètres effectifs)
Il faut que les deux listes de paramètres formels et effectifs aient le même nombre de paramètres et que les paramètres formels et effectifs correspondants soient compatibles.
Exemple
Algorithme Principal
Var t :réel
X, y : entier
Début
…
Permute(x,y,z) // interdit parce que le nombre de paramètres formels est // différent du nombre de paramètres effectifs
…
Permute(x,t) // interdit parce que les paramètres formels et effectifs ne sont // pas compatibles
Fin
3.Passage de paramètres par valeur les paramètres effectifs sont lus à l’appel de la procédure puis leurs valeurs sont affectées à des variables temporaires locales à la procédure.
Exemple
Algorithme passage_valeur
Var x : entier
Procédure Incrémenter(y : entier)
Début
Ecrire(y) y<-y+1
Ecrire(y)
Fin
Début x<-0
Ecrire(x)
Incrémenter(x)
Ecrire(x)
Fin
Le x reste intact=0 mais en même temps on veut l’incrémenter. Donc on utilise cette procédure.
4.Passage de paramètres par variable
Les variables d’entrée de la procédure (paramètres effectifs) sont liés aux paramètres formels. Pendant l’exécution du corps de la procédure toute action sur les paramètres formels s’exécutera sur les paramètres effectifs correspondants. Par conséquent, à la sortie de la procédure, les variables peuvent avoir leurs contenus changés.
Exemple
Algorithme Passage variable
Var x : entier
Procédure Incrémenter(var y : entier)
Début
Ecrire(y) y<-y+1
Ecrire(y)
Fin
Début
x<-0
Ecrire(x)
Incrémenter(x)
Ecrire(x)
Fin
Résumé
Le passage de paramètres par valeur est utilisé pour transmettre une valeur à la procédure. Le passage de paramètres par variable est utilisé pour que la procédure puisse modifier la valeur d’une variable du programme appelant.
II- Les fonctions
Une fonction est un sous programme qui renvoie une valeur d’un seul type. Ce type sera celui de la fonction. La valeur retournée par la fonction dépend en général des paramètres formels (et des variables globales)
- Variables globales : elles sont déclarées à l’extérieur des sous programmes - Variables locales : elles sont déclarées à l’intérieur du sous programme
Exemple
Algorithme Principal
Var x, y : entier //variables globales
Procédure Proc(z : entier)
Var T :réel //variable locale
DébutFin
….
DébutFin
….
Une même variable peut apparaître localement dans deux sous programmes différents.
Déclaration
Fonction nom_fonction(liste des paramètres formels) : type du résultat retourné Var Déclarations des variable
DébutFin
Corps fonction
Exemple
Fonction Max(x, y : entier) : entier
Début
Si x >=y
Alors Max<-x
Sinon Max<-y
Finsi
Fin
Remarque
Le corps de la fonction doit contenir au moins une instruction de retour de la valeur de la fonction comme suit :
nom_fonction <- expression
expression doit être de même type que la fonction
Appel de fonction
Un appel d’une fonction se fait dans une expression
Exemple
Algorithme Maximum4réels
Var x1, x2, x3, x4 : réel
y1, y2, y3 : réel
Fonction Max(x, y : réel) :réel
Début
Si x<=y
Alors Max<-x
Sinon Max <-y
Finsi
Fin
Début
Lire(x1, x2, x3, x4) y1<-Max(x1, x2) y2<-Max(x3, x4) y 3<-Max(y1,y2) Ecrire(« le maximum est : »,y3)
Fin
Remarque
La dernière des valeurs affectées constitue le résultat de l’évaluation de l’appel de la fonction.
Chapitre 6: Les tableaux
I- Les tableaux à une dimension
1- Définition
Un tableau T est une variable structurée formée d’un nombre entier N de variables simples de même type, qui sont appelées les composantes du tableau. Le nombre de composantes N est alors la dimension du tableau.
| ………………. | …….. |
T
N composantes On dit encore que T est un vecteur de dimension N.
2- Utilité
¾ Un tableau est une structure de données constituée d’un nombre fini d’éléments de même type.
¾ Lorsque plusieurs données de même type, généralement destinées au même traitement doivent être accessibles le long d’un programme, on propose d’utiliser la structure d’un tableau.
3- Composantes
Nom : identificateur d’un tableau.
Type-élément : Les éléments d’un tableau sont caractérisés par leur type (entier, réel, caractère,……..).
Indice : Tout type dont les éléments possèdent un successeur (les types scalaires), généralement de type entier.
4- Déclaration
Nom_tab : Tableau [premind. .deuxind] de type_élément
Exemples :
T1 : Tableau [1..50] d’entier
T2 : Tableau [1..20] de réel T3 : Tableau [1..20] de caractère Remarque :
Il est également possible de définir un type tableau comme dans l’exemple suivant :
CONST
Nmax = 50
TYPE
Tab : Tableau [] d’entier
VAR
T : tab
5-Accès aux composantes d’un tableau
Considérons un tableau T de dimension N
¾ L’accès au premier élément du tableau se fait par T[1]
¾ L’accès au dernier élément du tableau se fait par T[N]Exemple :
| 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
Nom : T
Indice : 1 2 3 4 5
Contenu T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]
6-Chargement d’un tableau
Ecrire un algorithme qui permet de remplir un tableau de 5 entiers.
ALGORITHME Chargement
VAR
T : Tableau [1..5] d’entier i : entier
Début
Pour i de 1 à 5 Faire
Ecrire ("T [" , i , "] :")
Lire(T[i]) Fin pour
Fin
7-Affichage du contenu d’un tableau
ALGORITHME AFFICHER
VAR
T : Tableau [1..5] d’entier i : entier
Début
Pour i de 1 à 5 Faire
Ecrire (T[i])
FinPour
Fin
8-Méthodes de recherche dans un tableau
8-1- La recherche séquentielle
Problème :Déterminer la première position d’une valeur donnée dans un tableau de N élément.
Résoudre ce problème en utilisant la notion de procédures/Fonctions
Algorithme RECHERCHE
CONST
Nmax = 50
TYPE
Tab : Tableau [] d’entier
VAR
T : tab
N , val : entier
/*Procédure CHARGEMEMENT*/
Procédure CHARGEMEMENT ( VAR T : tab ; N :entier)
VARi : entier
DEBUT
Pour i de 1 à N Faire
Ecrire ("T [" , i , "] :")
Lire(T[i])
Fin pour
FIN
/*Procédure AFFICHE*/
Procédure AFFICHE ( T : tab ; N :entier)
VARi : entier
DEBUT
Pour i de 1 à N Faire
Ecrire ( T[i])
FinPour
FIN
/*Procédure INDICE*/
Fonction INDICE ( T : tab ; N, val :entier) : entier
VARi, pos : entier DEBUT pos? -1
i? 1
Tant que (i ? N et pos = -1 ) FaireSi (T[i] = val ) alors
pos ? iSinoni ? i+1
Finsi
FinTantque
INDICE ? pos
FIN
/*Programme Principal*/
DEBUT ( P.P)
Répéter
Ecrire("Donner la taille de T :")
Lire(N)
Jusqu’à (N>1 et N<=nmax)
Ecrire (" Chargement de T ")
CHARGEMEMENT ( T , N )
Ecrire (" Affichage de T ")
AFFICHE( T , N )
Ecrire (("Donner la valeur à chercher dans T :")
Lire(val)
Si( INDICE ( T , N, val ) = -1) alors
Ecrire (val , "n’existe pas dans T ") sinon
Ecrire (val , "existe à la position", INDICE ( T , N, val ), "dans T ")
Finsi
FIN
8-2- La recherche dichotomique
Problème :Déterminer la première position d’une valeur donnée dans un tableau de N élément triés dans le sens croissant. Résoudre ce problème en utilisant la notion de procédures/Fonctions.
Principe :
Le principe est de décomposer le tableau T en deux sous tableaux. Trois cas peuvent se produire :
Si val = T[milieu] alors val est trouvé et la recherche est terminée.
Si val < T[milieu] alors on va chercher val dans la partie gauche du tableau T.
Si val > T[milieu] alors on va chercher val dans la partie droite du tableau T.
On poursuit la recherche tant que T[milieu] est différent de val est tant que la dimension de sous tableau reste valide.
Fonction Dichotomique ( T : tab ; N, val :entier) : entier
VARi, pos,mil, inf, sup : entier
DEBUT pos? -1 inf? 1
sup? N
Tant que ( inf ? sup et pos = -1 ) Faire mil ? (inf + sup) div 2 Si (T[mil] = val ) alors
pos = mil
Sinon
Si (val<T[mil] ) alors
sup? mil - 1 sinon
inf ? mil + 1 finsi
Finsi
FinTantque
INDICE ? pos
FIN
9- Méthodes de tri dans un tableau 9-1- Tri par sélection (par minimum) Principe :
Le principe de cette méthode est simple. Elle consiste à :
Chercher l’indice du plus petit élément du tableau T[1..n] et permuter l’élément correspondant avec l’élément d’indice 1;
Chercher l’indice du plus petit élément du tableau T[2..n] et permuter l’élément correspondant avec l’élément d’indice 2 ;
……..
Chercher l’indice du plus petit élément du tableau T[n-1..n] et permuter l’élément correspondant avec l’élément d’indice n-1;
Procédure TRISELECTION (VAR T : tab ; N : entier)
VAR
i, j, aux, indmin : entier
DEBUT
Pour i de 1 à n-1 faire
indmin ? i
Pour j de i+1 à n faire
Si ( T[j] < T[indmin] ) alors
indmin = j
Finsi
FinPour
Si (i ? indmin ) alors
aux ? T[i] T[i] ? T[indmin]
T[indmin] ? aux
Finsi
FinPour
FIN
| Tableau initial | 60 | 50 | 20 | 40 | 10 | 30 |
9-2- Tri à bulles Principe :
Cet algorithme porte le nom de tri bulle car, petit à petit, les plus grands éléments du tableau remontent, par le jeu des permutations, enfin de tableau. Dans un aquarium il en va de même : les plus grosses bulles remontent plis rapidement à la surface que les petites qui restent collés au fonds.
Il existe plusieurs variantes de cet algorithme :
Une méthode consiste à faire descendre les plus petites valeurs au début du tableau. Dans ce cas, le tableau est parcouru de droite à gauche.
/*Procédure TRISBULLE */
Procédure TRISBULLE (VAR T : tab ; N : entier)
VAR
i, j, aux : entier
DEBUT
Pour i de 1 à n-1 faire j ? n
Tantque (j ? i) faire
Si (T[j] < T[j - 1] ) alors
aux ? T[j] T[j] ? T[j - 1]
T[j - 1] ? aux
Finsi
j ? j – 1
FinTantque
FinPour
FIN
/*Programme Principal*/
DEBUT ( P.P)
N ? SAISIE_TAILLE ()
Ecrire (" Chargement de T ")
CHARGEMEMENT ( T , N )
Ecrire (" Affichage de T avant tri")
AFFICHE ( T , N )
TRISBULLE (T, N)
Ecrire (" Affichage de T après tri")
AFFICHE ( T , N )
FIN
| Tableau initial | 50 | 30 | 20 | 40 | 10 |
| 1ère étape | 50 | 30 | 20 | 10 | 40 |
| 50 | 30 | 10 | 20 | 40 |
| 50 | 10 | 30 | 20 | 40 |
| 10 | 50 | 30 | 20 | 40 |
| 2ème étape | 10 | 50 | 20 | 30 | 40 |
| 10 | 20 | 50 | 30 | 40 |
| 3ème étape | 10 | 20 | 30 | 50 | 40 |
| 4ème étape | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
II- Les tableaux à deux dimensions
1- Définition
Un tableau à deux dimensions A et à interpréter comme un tableau (unidimensionnel) de dimension L dont chaque composante est un tableau (unidimensionnel) de dimension C.
On appelle L le nombre de lignes du tableau et C le nombre de colonnes du tableau. Un tableau à deux dimensions contient L*C composantes.
M
C colonnes
2- Déclaration
Nom_tab : Tableau [premind. .deuxind , premind. .deuxind] de type_élément
Exemples :
M1 : Tableau [1..30, 1..30] d’entier
M2 : Tableau [1..20, 1..20] de réel M3 : Tableau [1..20, 1..20] de caractère Remarque :
Il est également possible de définir une matrice comme dans l’exemple suivant :
CONST
NL = 30
NC = 20
TYPE
MAT : Tableau [1.. NL, 1.. NC] d’entier
VAR
M : MAT
3-Accès aux composantes d’une matrice
Considérons un tableau M de L lignes et C colonnes.
¾ Les indices du tableau varient de 1 à L, respectivement de 1 à C.
¾ La composante de la Nième ligne et Mième colonne est notée : A[N,M].
Syntaxe :
<Nom du tableau>[<ligne> ,<colonne>]
Exemple : Considérons une matrice de 3 lignes et 4 colonnes
1 2 3 4
| A[1 ,1] | A[1,2] | A[1,3] | A[1 ,4] |
| A[2 ,1] | A[2 ,2] | A[2 ,3] | A[2 ,4] |
| A[3 ,1] | A[3 ,2] | A[3 ,3] | A[3 ,4] |
1
2
3
4-Chargement d’une matrice
Algorithme Chargement
VAR
M : Tableau [1.. 3, 1..4] d’entier i ,j : entier
Début
Pour i de 1 à 3 Faire
Pour j de 1 à 4 Faire
Ecrire ("M [" , i , ", " , j , "] :")
Lire (M [i, j])
Fin pour
Fin pour
Fin
5-Affichage du contenu d’une matrice
Algorithme Afficher
VAR
M : Tableau [1.. 3, 1..4] d’entier i,j : entier
Début
Pour i de 1 à 3 Faire
Pour j de 1 à 4 Faire
Ecrire ( M[i, j])
Fin pour
Fin pour Fin
Exemple 1
Soient M1 et M2 deux matrices à n lignes et m colonnes. On veut écrire une procédure qui calcule les éléments de la matrice M3 = M1 + M3 Rappel:
/ M1 \ / M2 \ / M3 \ | a b c d | | a' b' c' d' | | a+a' b+b' c+c' d+d' |
| e f g h | + | e' f' g' h' | = | e+e' f+f' g+g' h+h' |
| i j k l | | i' j' k' l' | | i+i' j+j' k+k' l+l' |
\ / \ / \ /
Procédure SOMME ( M1 , M2 : MAT ; VAR M3 : MAT ;n, m : entier)
VAR i ,j : entier
Début
Pour i de 1 à n Faire
Pour j de 1 à m Faire
M3[i, j] ? M1[i, j] + M2[i, j]
Fin pour
Fin pour
Fin
Exemple 2
Ecrire un algorithme qui effectue la transposition tA d'une matrice A de dimensions N et M en une matrice de dimensions M et N.
La matrice A sera transposée par permutation des éléments. Résoudre ce problème en utilisant la notion de procédures/Fonctions. Rappel:
/ \ / \ | a b c d | | a e i | tA = t | e f g h | = A | b f j | | i j k l | | c g k |
\ / | d h l |
\ /
Algorithme CHANGEMENT
CONST
Nmax = 50
TYPE
MAT : Tableau [1.. Nmax, 1.. Nmax] d’entier
VAR
A : MAT
N , M : entier
/*Procédure SAISIE_TAILLE */
Fonction SAISIE_TAILLE() : entier
VAR
nb : entier DEBUT
Répéter
Ecrire("Donner la taille de T :")
Lire(nb)
Jusqu’à (nb>1 et nb<=nmax)
SAISIE_TAILLE ? nb
FIN
/*Procédure CHARGEMEMENT*/
Procédure CHARGEMEMENT (VAR A : MAT ; N, M : entier)
VAR
i , j: entier
DEBUT
Pour i de 1 à N Faire
Pour j de 1 à M Faire
Ecrire ("A [" , i , ", " , j , "] :")
Lire (A [i, j])
Fin pour
Fin pour
FIN
/*Procédure AFFICHE*/
Procédure AFFICHE (A : MAT ; N, M :entier)VARi, j : entier
DEBUT
Pour i de 1 à N Faire
Pour j de 1 à M Faire
Ecrire (A [i, j])
Fin pour
Fin pour
FIN
/*Procédure transposée*/
Procédure TRANSPOSEE (VAR A : MAT ; N, M : entier)VARi, j, Dmax, aux : entier
DEBUT
Si ( N > M ) alors
Dmax ? N
Sinon
Dmax ? M
Finsi
Pour i de 1 à Dmax Faire
Pour j de 1 à i Faire aux ? A[i, j] A[i , j] ? A[j , i]
A[j , i] ? aux
Fin pour
Fin pour
FIN
/*Programme Principal*/
DEBUT ( P.P)
Ecrire (" Saisie des tailles ")
N ? SAISIE_TAILLE ()
M ? SAISIE_TAILLE()
Ecrire (" Chargement de A ")
CHARGEMEMENT (A, N, M)
Ecrire (" Affichage de A avant transposition ")
AFFICHE (A, N, M)
TRANSPOSEE (A, N, M)
Ecrire (" Affichage de A après transposition ")
AFFICHE (A, M, N)
FIN
Chapitre 7 : La récursivité
I- Notion de récursivité
Une des caractéristiques les plus importantes de programmation est la possibilité pour une procédure ou une fonction de s’appeler elle-même. On parle de récursivité.
La récursivité est particulièrement utile pour traiter tous les problèmes formalisables de façon récursive, bien qu’il soit possible de programmer des solutions n’utilisant pas la récursivité pour ces problèmes.
Syntaxe
| Fonction Récursive (par : type_par) : typer_retour Variable résultat : type_retour Début Si (cdt_arret) alors résultat Å val_initiale sinon résultat Å /* Appel de la fonction Récursive (par2)*/ finsi retour (résultat) Fin |
II- Etude d’un exemple
On peut définir le factoriel d’un nombre n non négatif de 2 manières.
Définition non récursive
N ! = N * N-1 * ………. 2 * 1 Définition récursive :
N ! = N * (N – 1) ! et 0 ! = 1
Solution itérative :
Fonction FACT ( n : entier ) : entier
VAR i, F: entier DEBUT
Si (n = 0 ) alors
FACT Å 1 Sinon
F Å 1
Pour i de n à 1 ( pas = -1 ) faire
F Å F * i
Finpour
FACT Å F
Finsi
FIN
Solution récursive :
Fonction FACT ( n : entier ) : entier
VAR
F : entier DEBUT
Si (n = 0 ) alors
F Å 1
Sinon
F Å n * FACT (n-1)
Finsi
FACT Å F
FIN
/* PROGRAMME PRINCIPAL*/
DEBUT ( P.P )
Répéter
Ecrire ("Donner un entier n : ")
Lire ( n )
Jusqu’à (n ? 0 )
Écrire ("La factorielle de ", n , " = " , FACT ( n )) FIN
III- Interprétation
Chaque procédure ou fonction récursive doit comporter une condition d’arrêt (dans notre exemple n=0). Cette condition empêche des appels récursifs sans fin. Habituellement, la condition d’arrêt se présente sous la forme d’une instruction si…… alors……sinon qui permet de stopper la récurrence si la condition d’arrêt est satisfaite. Par contre, tant que la condition d’arrêt n’est pas remplie, la procédure (ou la fonction) s’appelle au bon endroit.
On remarque que le processus récursif remplace en quelque sorte la boucle. On remarque aussi qu’on traite le problème à l’envers : on part du nombre, et on remonte à rebours jusqu’à 1 pour pouvoir calculer la factorielle. Cet effet de rebours est caractéristique de la programmation récursive.
Pour la solution récursive : La fonction FACT est appelée successivement, une fois dans le programme principal et (N-1) façon depuis elle-même, de façon totalement transparente pour l’utilisateur. Le seul résultat visible est la réponse finale.
Lorsque s’exécute un programme récursif, les appels successifs de la fonction (ou procédure) récursive ne sont pas exécutés immédiatement. Ils sont de faits placés dans une pile jusqu’à ce que soit atteinte la condition d’arrêt du processus récursif.
Les appels de fonction sont alors exécutés en ordre inverse, au fur et à mesure qu’ils sont retirés de la pile.
Une pile est une structure de données de type LIFO (Last In, First Out) ou « Dernier Entrée, Premier Sortie »
IV- Mécanisme de fonctionnement de la récursivité
L’évaluation récursive d’une factorielle donne lieu au traitement, dans l’ordre suivant, des appels de la fonction : Donner un entier n : 4 FACT (4)
4*FACT (3)
3* FACT (2)
2* FACT (1)
1* FACT (0)
1
Les valeurs effectives sont retournées dans l’ordre inverse :
0 ! = 1
1 ! = 1 * 0 ! = 1 * 1 = 1
2 ! = 2 * 1 ! = 2 * 1 = 2
3 ! = 3 * 2 ! = 3 * 2 = 6
4 ! = 4 * 3 ! = 4 * 6 = 24 Remarques
? La programmation récursive, pour traiter certains problèmes, est très économique pour le programmeur ; elle permet de faire les choses correctement, en très peu d'instructions.
? Tout problème formulé en termes récursifs peut également être formulé en termes
itératifs !
Exercice1 :
Ecrire une fonction Fib récursive qui calcule le terme Fn de la suite de Fibbonaci : F0 = 0,
F1 = 1,
Fn = Fn-1 + Fn-2
Fonction Fib ( n : entier ) : entier
VAR f : entier Début
Selon (n) faire
0: f Å 0
1: f Å 1
Sinon
f Å Fib (n - 1) + Fib (n - 2) Finselon
Fib Å f Fin
Exercice2 :
Ecrire une fonction puissance récursive qui donne la puissance entière (positive) d'un nombre réel.
Fonction Puiss( x : réel ; n : entier) : réel
VAR
P : réel
Début
Si (n = 0) alors
P Å 1
SinonFinsi
P Å x * Puiss(x, n - 1)
Puiss Å P Fin
Exercice3 :
Ecrire une procédure ENVERS récursive qui permet d’afficher les éléments d’un tableau d’entiers à l’envers.
Procédure AFFICHER ( T : tab ; n : entier)
0) alors
Écrire (T[n])
AFFICHER (T , N-1) Finsi
Fin
Chapitre 8: Les pointeurs
Introduction
La plupart des langages de programmation offrent la possibilité d'accéder aux données dans la mémoire de l'ordinateur à l'aide de pointeurs, c.-à-d. à l'aide de variables auxquelles on peut attribuer les adressesd'autres variables.
I- Adressage de variables
1. Adressage direct
Accès au contenu d’une variable par le nom de la variable.
Exemple :
A : entier
A ? 10
A
10
Adress 1E04 1E06 1E08
e
2. Adressage indirect
Si nous ne voulons pas utiliser le nom d’une variable A, nous pouvons copier l’adresse de cette variable dans une variable spéciale P appelée Pointeur. Ensuite, nous pouvons retrouver l’information de la variable A en passant par le pointeur P.
Accès au contenu d’une variable en passant par un pointeur qui contient l’adresse de la variable.
Exemple :
Soit A une variable contenant la valeur 10 et P un pointeur qui contient l’adresse de A.
P A
|
|
3F04 3F06 3F08 5C24 5C26 5C28
II- Les pointeurs
1-Définition
Un pointeur est une variable spéciale qui peut contenir l’adresse d’une autre variable.
Si un pointeur P contient l’adresse d’une variable A, on dit que 'P pointe sur A'.
Un pointeur est limité à un type de données. Il peut contenir :
¾ L’adresse d’une variable simple de ce type,
¾ L’adresse d’une composante d’un tableau de ce type.
2-Les opérateurs de base
Lors du travail avec des pointeurs, nous avons besoin :
¾ D’un opérateur 'Adresse de' : & pour obtenir l’adresse d’une variable.
¾ D’un opérateur 'contenu de' : * pour accéder au contenu d’une adresse. ¾ D’une syntaxe de déclaration pour pouvoir déclarer un pointeur.
a)-L’opérateur 'adresse de' : &
| &< nom variable>: b)- L’opérateur 'contenu de' : * | fournit l’adresse de la variable < nom variable>. |
| *< nom pointeur > : | désigne le contenu de l’adresse référencée par le pointeur <nom pointeur> . |
c)- Déclaration d’un pointeur :
nom pointeur : Pointeur sur type
Déclare un pointeur <nom pointeur> qui peut recevoir des adresses de variables.
Remarque
Les pointeurs et les noms de variables ont le même rôle: Ils donnent accès à un emplacement dans la mémoire interne de l'ordinateur. Il faut quand même bien faire la différence:
• Un pointeur est une variable qui peut 'pointer' sur différentes adresses.
• Le nom d'une variable reste toujours lié à la même adresse.
Exemple :
PNUM : pointeur sur entier
¾ PNUM est un pointeur sur entier,
¾ PNUM peut contenir l’adresse d’une variable du type entier.
¾ *PNUM est de type int,
Exemple1
P : pointeur sur entier
A ? 10
| A | 10 |
P
1E00 1E04
| 50 |
B
1E06
Après les instructions :
P ? &A ? P pointe sur A
B ? *P ? Le contenu de A est affecté à B *P ? 20 ? Le contenu de A est mis à 20
| 1E04 |
| 10 20 |
P A
1E00 1E04
| 50 10 |
B
1E06
Exemple2
Algorithme XX
VAR
u, v : entier
pu, pv : pointeur sur entiers DEBUT
u ? 3
Écrire ( "1- u = ", u , "Adresse de u = ", &u) pu ? &u
Écrire ( "2- *pu = ", *pu , "pu = ", pu) pv ? &v v ? *pu
Écrire ( "3- v = ", v , "Adresse de v = ", &v)
Écrire ( "4- *pv = ", *pv , "pv = ", pv) FIN
Résultat :
1- u = 3 Adresse de u = 2248
2- *pu = 3 pu = 2248
3- v = 3 Adresse de v = 2246
4- *pv = 3 pv = 2246
pu
1E042248pv
1E022246
III- Paramètres d’une fonction
1-Passage des paramètres par valeur
Algorithme PAR_VALEUR
VAR
X, Y : entier
Procédure PERMUTER (A, B : entier)
VAR
AIDE : entier
DEBUT
AIDE ? A
A ? B
B ? AIDE
Écrire ("Dans PERMUTER : A=" , A , "B= " , B)
FIN
DEBUT ( P.P )
A ? 30
B ? 40
Écrire ("Avant appel de PERMUTER : X=", X, "Y = " , Y)
PERMUTER ( X, Y )
Écrire ("Après appel de PERMUTER : X=", X, "Y = " , Y) FIN
Exécution :
Avant appel de PERMUTER : X = 30
Y = 40
Dans PERMUTER :
A = 40
B = 30
X et Y restent échangés.
¾ Lors de l’appel, les valeurs de X et Y sont copiées dans les paramètres A et B. PERMUTER échange bien le contenu des variables locales A et B, mais les valeurs de X et Y restent les mêmes.
¾ Pour changer la valeur d’une variable de la fonction appelante, nous allons procéder comme suit :
? La fonction appelante doit fournir l’adresse de la variable et ? La fonction appelée doit déclarer le paramètre comme pointeur.
2-Passage des paramètres par adresse
Algorithme PAR_ADRESSE
VAR
X, Y : entier
Procédure PERMUTER (A, B : pointeur sur entier)
VAR
AIDE : entier
DEBUT AIDE ? *A
*A ? *B
*B ? AIDE
Écrire ("Dans PERMUTER : A=" , *A , "B= " , *B)
FIN
DEBUT ( P.P )
A ? 30
B ? 40
Écrire ("Avant appel de PERMUTER : X=", X, "Y = " , Y)
PERMUTER (&X, &Y)
Écrire ("Après appel de PERMUTER : X=", X, "Y = " , Y) FIN
Exécution :
Avant appel de PERMUTER : X = 30
Y = 40
A = 40
B = 30
Après appel de PERMUTER : X = 40
Y = 30
Lors de l’appel, les adresse de X et Y sont copiées dans les pointeurs A et B. PERMUTER échange ensuite le contenu des adresses indiquées par les pointeurs A et B.
Remarque
Par défaut lorsque l’on déclare un pointeur, on ne sait pas sur quoi il pointe. Comme toute variable, il faut l’initialiser. On peut dire qu’un pointeur ne pointe sur rien en lui affectant la valeur NULL
i : entier
p1, p2 : pointeur sur entier
p1 ? &i p2 ? NULL
IV- Allocation dynamique de mémoire
Pour réserver l’espace mémoire pour un tableau ou une variable quelconque, on utilise souvent une opération d’allocation statique qui est effectué au début d’un programme (section variables), cette manière de réservation présente l’inconvénient que l’espace réservé doit être connu à l’avance (constant)
Exemple
1- A, B : entier
C : réel
2- Type
TAB : Tableau [1..50] : d’entier
VAR
T : TAB
A l’inverse l’allocation dynamique permet de réserver un espace mémoire de taille variable en milieu d’exécution d’un programme à ce moment, on ne peut pas utiliser les noms pour accéder à cette zone mémoire, on utilisera par suite les pointeurs.
On dispose deux primitives « ALLOUER » et « LIBERER ».
La fonction « ALLOUER » permet de réserver un ensemble de cases mémoires et envoyer l’adresse de début de cette zone.
PTR ? ALLOUER (N)
N : nombre d’octet à réserver.
Une fois on n’a plus besoin de cette zone mémoire, on peut libérer avec :
LIBERER (PTR) Exemple
i , N : entier
P : pointeur sur entier
Écrire ("Donner le nombre de cases à réserver :")
Lire(N)
P ? ALLOUER (N * taille (entier))
Pour i de 1 à N
*(P + i) ? 0
CHAPITRE 9: Les enregistrements
I- Notion d’enregistrements
Les variables que nous avons jusqu’au présent utilisées ne se constituent que d’un seul type de données (Entier, Réel, Caractère, etc.).
Les tableaux constituent une extension puisqu nous y déclarons une variable composée de plusieurs éléments de même type.
Un enregistrement (ou structure en C) permet de rassembler un ensemble d’élément de types différents sous un nom unique. On définit ainsi un type composé.
A titre exemple, une date, une adresse ou nombre complexe peuvent être considérés comme des enregistrements.
II- Déclaration des variables de type enregistrement
Syntaxe : Type
Nom_Enreg = Enregistrement
Champ1 : type1
Champ2 : type2
Champ3 : type3 .
.
Champ n : type n
Fin enregistrement
Exemple :
1- Déclarer un enregistrement qui permet d’identifier une adresse
TYPE
Adresse = Enregistrement
Rue : chaîne
Ville : chaîne
cp : entier Fin enregistrement
VAR
AD: Adresse
2- Déclarer un enregistrement qui permet d’identifier un étudiant
TYPE
Etudiant = Enregistrement
NI : entier
Nom : chaîne[30]
Prénom : chaîne[30]
Adresse : chaîne
D_N : chaîne
Moy : réel
Fin enregistrement
VAR
ET : Etudiant
Les champs peuvent des variables ordinaires, des tableaux, des pointeurs ou autres structures.
III- Manipulation des variables de type enregistrement
Les enregistrements ne peuvent pas être référencés globalement dans une instruction car ils sont composés d’éléments de type différents. Par contre, il est possible de faire référence à chaque élément d’un enregistrement.
Pour cela, il est nécessaire de préciser le nom (identificateur) de l’enregistrement, suivi d’un suffixe indiquant l’identificateur du champ concerné. Les deux identificateurs sont séparés par un point.
Exemple :
? ET. NI ? 1249200
?affecte la valeur 1249200 au champ NI de l’enregistrement ET
? Ecrire ("Le nom de l’étudiant : ", ET. Nom )
?affiche le champ Nom de l’enregistrement ET
? lire (ET. Moy )
?lit un réel qui sera affecté au champ Moy de l’enregistrement ET Remarque :
1-Il est possible d’utiliser l’opérateur d’affectation entre deux enregistrements de même type comme dans l’exemple suivant :
VAR
ET1 , ET2 : Etudiant
ET1. NI ? ET2. NI
ET1. Nom ? ET2. Nom
ET1 ? ET2 ? ET1. Prénom ? ET2. Prénom
ET1. Adresse ? ET2. Adresse
ET1. D_N ? ET2. D_N
ET1. Moy ? ET2. Moy
2- On peut effectuer une comparaison entre 2 enregistrements de même type comme dans l’exemple suivants :
? si (ET1 = ET2) alors ……
? Tantque (ET1 ? ET2) Faire ……
IV- Tableaux d’enregistrement
Exemple :
TYPE
Point = Enregistrement
Nom : Caractère
x , y : entier
Fin enregistrement
TAB : Tableau [ 1..50] de Point
VAR
Courbe : TAB
? La structure point pourrait, par exemple, servir à représenter un point d’un plan, point qui serait défini par son nom et ses coordonnées.
? La structure courbe représente un ensemble de 50 points.
? Courbe[i].nom : Représente le nom du point du rang i du tableau courbe. N.B : [i] n’a pas de sens
? Courbe[i].x
? désigne la valeur du champ x de l’élément de rang i du tableau courbe.
? Courbe[4]
? Représente la structure de type point correspondant au 4ème élément du tableau courbe. V- Structures comportant d’autres Structures
Exemple :
TYPE
Date = Enregistrement
jour : entier
mois : entier
année : entier
Fin enregistrement
Etudiant = Enregistrement
NI : entier
Nom : chaîne[30]
Prénom : chaîne[30]
Adresse : chaîne
D_N : Date
Moy : réel
Fin enregistrement
VAR
ET : Etudiant
? ET. ée
? Représente l’année de naissance correspondant à l’enregistrement ET.
? ET.D_N
? Représente la date de naissance correspondant à la structure ET.
VI- Les pointeurs sur structures et accès aux données
Exemple :
TYPE
Etudiant = Enregistrement
NI : entier
Nom : chaîne[30]
Prénom : chaîne[30]
Adresse : chaîne
D_N : chaîne
Moy : réel
Fin enregistrement
VAR
ET : Etudiant
P1 : Pointeur sur Etudiant
? P1 est un pointeur vers un enregistrement de type Etudiant.
? Pour accéder à un élément de l’enregistrement en utilisant le pointeur, on utilise la notation suivante :
(*Nom_de_la_variable).membre Où Nom_de_la_variable ? membre
P1 ? &ET
(*P1).NI ou P1 ? NI
Ecrire ((*P1).Nom) ou Ecrire (P1? Nom)
Exercice 1
? Définir le type d’un nombre complexe écrit sous la forme algébrique.
? Ecrire une fonction qui renvoie la somme de deux nombres complexes.
? Ecrire une fonction qui renvoie le produit de deux nombres complexe ? Ecrire une fonction qui renvoie le module d’un nombre complexe.
? Ecrire le programme principal.
Algorithme CALCUL
TYPE
Complexe = Enregistrement
Reel : Réel
Imag : réel
Fin enregistrement
VAR
C1 , C2, SOM, PROD : Complexe
FONCTION SOMME ( C1, C2 : Complexe ) : Complexe
VAR
S : Complexe
Début
S.Reel ? + S.Imag ? C1. Imag + C2. Imag
SOMME ? S
FIN
FONCTION PRODUIT ( C1, C2 : Complexe ) : Complexe
VAR
P : Complexe
Début
P.Reel ? (* ) – (C1. Imag * C2. Imag) P.Imag ? (* ) – (C1. Imag * C2. Reel)
PRODUIT ? P
FIN
DEBUT
Ecrire ("Partie réelle du premier nombre : " )
Lire ()
Ecrire ("Partie imaginaire du premier nombre : " )
Lire ()
Ecrire ("Partie réelle du deuxième nombre : " )
Lire ()
Ecrire ("Partie imaginaire du premier nombre : " )
Lire ()
SOM ? SOMME ( C1,C2 )
Ecrire ("Somme = ", , "+" , , "i" )
PROD ? PRODUIT ( C1,C2 )
Ecrire ("Produit = ", , "+" , , "i" )
FIN
Exercice 2
? Définir un enregistrement qui permet d’identifier un étudiant (NI, Nom, Prénom et date de naissance)
? Ecrire une procédure SAISIE qui permet de saisir les informations de N étudiants.
? Ecrire une procédure RECHERCHE qui permet de chercher et d’afficher les information concernant un étudiant donné.
? Ecrire le programme principal.
TYPE
Date = Enregistrement
jour : entier
mois : entier année : entier
Fin enregistrement
Etudiant = Enregistrement
NI : entier
Nom : chaîne[30]
Prénom : chaîne[30]
D_N : Date
Fin enregistrement
TAB : Tableau [1..50] de Etudiant
VAR
ET : TAB
N : entier
PROCEDURE SAISIE (Var T : TAB, N : entier)
VAR i : entier
Début
Pour i de 1 à N Faire
Ecrire ("Etudiant N° : " , i )
Ecrire ("Donner le numéro d’inscription : " )
Lire (T[i].NI)
Ecrire ("Donner le nom : " ) Lire (T[i].Nom)
Ecrire ("Donner le Prénom : " )
Lire (T[i].Prénom)
Ecrire ("Donner la date de naissance : " )
Lire (T[i], T[i], T[i]ée) FinPour
Fin
PROCEDURE RECHERCHE (T : TAB, N : entier)
VAR
i, num , rech: entier
Début
Ecrire ("Donner un numéro " ) Lire (num)
i ? 1 rech ? 0
Tant que (i ? N et rech = 0) faire Si ( T[i].NI = num) alors
rech ? 1
Sinon
i?i+1
Finsi
FinTantque Si (rech = 1) alors
Ecrire("Numéro d’inscription : ",T[i].NI ) Ecrire ("Nom : ",T[i].Nom)
Ecrire ("Prénom : ",T[i].Prénom)
Ecrire ("Date de naissance : ",T[i], "/", T[i], "/" ,
T[i]ée)) Sinon
Ecrire ("Etudiant inexistant")
Finsi
Fin
DEBUT Répéter
Ecrire("Donner le nombre d’étudiant :") Lire(N)
Jusqu’à (N>1 et N<=20) SAISIE (ET, N)
RECHERCHE (ET, N)
FIN
Chapitre 10: Les listes chaînées
Introduction
Une liste chaînée est une suite d’un nombre variable d’objets de même type appelés éléments de la liste. Elle est enregistrée sur un support adressable et il existe une action simple permettant de passer d’un élément à l’élément suivant s’il existe.
La liste chaînée est une application typique de l’allocation dynamique de mémoire. C’est pourquoi il est judicieux d’avoir des connaissances sur les pointeurs, les structures et l’allocation dynamique de mémoire pour aborder aux listes chaînées.
I- Les listes simplement chaînées
1- Définition
Une liste simplement chaînée est une suite d’un nombre variable d’objets de même type et chaque élément, sauf le dernier, pointe vers son successeur.
2- Description
1- chaque élément d’une liste simplement chaînée est de type composé par :
? Une partie information(s)
? Une partie pointeur
Exemple
Elément = enregistrement num : entier
suivant : pointeur sur élément Fin enregistrement
| 106 | ? |
2- Définir un pointeur de tête qui permet d’accéder au premier élément de la liste
Tête : pointeur sur élément
3-
? Disposer des primitives d’allocation et de libération pour créer ou supprimer des éléments.
• Création : ALLOUER
• Suppression : LIBERER
? Rechercher dans la zone dynamique le premier emplacement capable de contenir un objet de type considéré.
? Réserver cet emplacement.
? Donner à la variable pointeur la valeur égale à l’adresse mémoire de cet emplacement.
4- De plus, il faut un moyen pour repérer le dernier élément de la liste. Cet élément n’ayant pas de successeur, sa subdivision lien devra avoir la valeur NULL indiquant l’adresse du pointage.
| 100 | ? | 50 | ? | 200 | ? | 120 | NULL |
????
| L | ? |
Environnement type d’une LSC
TYPE
Elément = enregistrement
num : entier
suivant : pointeur sur élément
Fin enregistrement
LISTE : pointeur sur élément
VAR
L : LISTE
3-Manipulation des LSC
1- Création d’une liste vide
2- Ajout d’un élément
? Ajout en tête
? Ajout en queue
3- Affichage
4- Suppression d’un élément
? Suppression en tête
? Suppression en queue
? Suppression d’un élément donné.
5- Taille d’une liste
6- Tri
7- Fusion
8- Eclatement
9- ……………
3-1- Création d’une liste vide
Procédure CREATION_LISTE (VAR L : LISTE)
DEBUT
L ? NULL FIN
3-2- Ajout d’un élément a) Ajout en tête
Fonction AJOUT_TETE (L : LISTE) : LISTE
VAR P : LISTE x: entier
DEBUT
Ecrire ("Donner un entier : " )
Lire (x)
P ? ALLOUER (taille (Elément)) ou /* ALLOUER (P)*/
P ? num ? x
P ? suivant ? L
L ? P
AJOUT_TETE ? L
FIN
1- Liste vide x = 120
| 120 | NULL |
| P | ? | |
| L | NULL | ? |
?
2- Liste contient déjà des éléments x = 120
| 120 | ? | 50 | ? | 200 | NULL |
| L | ? | ? |
P ?
???
b) Ajout en queue
Fonction AJOUT_QUEUE (L : LISTE) : LISTE
VAR
P, P1 : LISTE x : entier
DEBUT
Ecrire ("Donner un entier : " )
Lire (x)
Si (L = NULL) alors
P ? ALLOUER (taille (Elément))
P ? num ? x
P ? suivant ? NULL
L ? P Si non P ? L
Tant que ( P ? suivant ? NULL) faire
P ? P ? suivant
Fin Tant que
P1 ? ALLOUER (taille (Elément)) ou /* ALLOUER (P1)*/
P1 ? num ? x
P ? suivant ? P1
P1 ? suivant ? NULL
Fin Si
AJOUT_QUEUE ? L
FIN
1- Liste vide L = NULL x = 120
| 120 | NULL |
| P | ? | |
| L | NULL | ? |
?
2- Liste contient déjà des éléments x = 120
| 120 | ? | 50 | ? | 200 | NULL ? | 120 | NULL |
????
| L | ? |
| P | ??? |
| P1 | ? |
3-3- Affichage
Version itérative
Procédure AFFICHE_ITER (L : LISTE)
VAR
P : LISTE
DEBUT
P ? L
Si (P = NULL) alors
Ecrire ("Liste vide " )
Si non
Tant que ( P ? NULL) faire Ecrire (P ? num)
P ? P ? suivant
Fin Tant que
Fin Si
FIN
Version récursive
Procédure AFFICHE_REC (L : LISTE)
DEBUT
Si (L ? NULL) alors Ecrire (P ? num)
AFFICHE_REC (L? suivant)
Fin Tant que
Fin Si
FIN
3-4- Suppression d’un élément a) Suppression en tête
Fonction SUPP_TETE (L : LISTE) : LISTE
VAR
P, Q : LISTE
DEBUT
P ? L
Q ? L
Q ? Q ? suivant
LIBERER (P)
SUPP_TETE ? Q
FIN
| 120 | ? | 50 | ? | 200 | ? | 120 | NULL |
| L | ?? |
????
| P | ? |
| Q | ?? |
b) Suppression en queue
Fonction SUPP_QUEUE (L : LISTE) : LISTE
VAR
P, Q : LISTE
DEBUT Q ? L
Si (Q ? suivant = NULL) alors
LIBERER (Q)
Q ? NULL
Si non P ? L
Tant que ( (P ? suivant) ? suivant ? NULL) faire
P ? P ? suivant
Fin Tant que
LIBERER (P? suivant)
P ? suivant ? NULL
Fin Si
SUPP_QUEUE ? Q
FIN
| 120 | ? | 50 | ? | 200 | ? NULL | 120 | NULL |
????
| L | ? |
c) Suppression d’un élément donné
Fonction SUPP_ELEMENT (L : LISTE) : LISTE
VAR
P, Q, R : LISTE x : entier
trouve : booléen
DEBUT
Ecrire ("Donner l’élément à supprimer : " )
Lire (x)
P ? L R ? L trouve ? faux
Si (R ? num = x) alors
R ? R ? suivant LIBERER (P)
Si non
Tant que ( P ? suivant ? NULL et trouve = faux) faire Si ((P? suivant) ? num = x) alors trouve ? vrai sinon
P ? P ? suivant
Fin Si
Fin Tant que
Si ( trouve = vrai ) alors Q ? P ? suivant
P ? suivant ? Q ? suivant
LIBERER (Q)
Si Non
Ecrire ("élément inexistant " )
Fin Si
Fin Si
SUPP_ELEMENT ? R
FIN
3-5- Taille d’une liste
Fonction TAILLE_L (L : LISTE) : entier
VAR
T : entier
DEBUT
Si ( L = NULL ) alors
TAILLE_L ? 0
Si Non
T? 0
Tant que ( L ? NULL) faire T ? T + 1
L ? L ? suivant
Fin Tant Que
TAILLE_L ? T
Fin Si FIN
3-6- Tri d’une liste
Fonction TRI_L (L : LISTE) : LISTE
VAR P, Q: LISTE x : entier
DEBUT
P ? L
Tant que ( P ? NULL) faire
Q ? P ? suivant
Tant que ( Q ? NULL) faire
Si (P ? num > Q ? num ) alors
x ? P ? num
P ? num ? Q ? num
Q? num ? x
Fin Si
Q ? Q ? suivant Fin Tant Que
P ? P ? suivant
Fin Tant Que
TRI_L ? T
FIN
II- Les listes doublement chaînées
Dans les listes vues précédemment le parcours ne peut se faire que dans un seul sens : de la tête vers la queue. Pour remédier à cette dissymétrie de l’opération et permettre un parcours aussi bien dans un sens que dans l’autre, on peut construire des listes doublement chaînées ( ou listes bilatères)
1-Définition
Une liste bilatère comporte deux pointeurs qu’on appelle « avant » et « après ». Si un élément à un prédécesseur, il est désigné par le pointeur « avant », s’il a un successeur, il est désigné par le pointeur « après ». Cette structure permet de parcourir la liste dans les 2 sens et d’accélérer la recherche d’un élément.
Avant après
NULL
??
| Tête | Queue |
? Si Tête = Queue = NULL ? La liste est vide
? Si Tête = Queue ? NULL ? La liste à un seul élément
2-Environnement type d’une LB
TYPE
Elément = enregistrement avant : pointeur sur élément num : entier
aprés : pointeur sur élément
Fin enregistrementLB = enregistrement tête = pointeur sur élément queue = pointeur sur élément
Fin enregistrement
LISTE = pointeur sur élément
VAR
L : LB
3- Manipulation des LB
3-1- Création d’une liste bilatère vide
Procédure CREATION_LB (VAR L : LISTE)
DEBUT
L.tête ? NULL
L.queue ? NULL
FIN
3-2- Création d’une liste bilatère a) Ajout à gauche
Fonction AJOUT_G ( L : LB ; n : entier) : LB
VAR P, Q : LISTE x, i: entier
DEBUT
/* Création du 1er élément de la liste*/
ALLOUER (P)
Ecrire ("Donner un entier : " )
Lire (P ? num) P ? avant ? L.tête
P ? après ? L.queue
L.tête ? P L.queue ? P
/* Insertion du reste des éléments de la LB*/ Pour i de 2 à n Faire
Q ? L.tête
ALLOUER (P) Lire (P ? num)
P ? avant ? NULL
Q ? avant ? P P ? après ? Q
L.tête ? P
Fin Pour
AJOUT_G? L
FIN
Autre méthode
Fonction AJOUT_G ( L : LB ; n : entier) : LB
VAR
P : LISTE x, i: entier
DEBUT
/* Création du 1er élément de la liste*/
ALLOUER (P)
Ecrire ("Donner un entier : " )
Lire (P ? num) P ? avant ? L.tête P ? après ? L.queue
L.tête ? P L.queue ? P
/* Insertion du reste des éléments de la LB*/ Pour i de 2 à n Faire
ALLOUER (P) Lire (P ? num)
P ? avant ? NULL
(L.tête) ? avant ? P
P ? après ? L.tête
L.tête ? P
Fin Pour
AJOUT_G? L
FIN
b) Ajout à droite
Fonction AJOUT_D ( L : LB ; n : entier) : LB
VAR
P : LISTE x, i: entier
DEBUT
/* Création du 1er élément de la liste*/
ALLOUER (P)
Ecrire ("Donner un entier : " )
Lire (P ? num) P ? avant ? L.tête
P ? après ? L.queue
L.tête ? P
L.queue ? P
/* Insertion du reste des éléments de la LB*/ Pour i de 2 à n Faire
ALLOUER (P)
Lire (P ? num)
P ? après ? NULL
(L.queue) ? après ? P
P ? avant ? L.queue
L. queue ? P
Fin Pour
AJOUT_D? L
FIN
3-3- Affichage
Procédure AFFICHE (L : LB)
VAR
P : LISTE
DEBUT
Si (L.tête = NULL) alors Ecrire ("Liste vide " )
Si non
Si (L.tête = L.queue) alors
Ecrire ("La liste à un seul élément : " , L.téte? num)
Si non
Ecrire ("Parcours de gauche vers la droite" )
P ? L.tête /* P ? L.queue : de drote à gauche*/
Tant que ( P ? NULL) faire
Ecrire (P ? num)
P ? P ? après /* P ? P ? avant*/
Fin Tant que
Fin Si
Fin Si
FIN
3-4- Suppression d’un élément a) Suppression en tête
Fonction SUPP_TETE (L : LB) : LB
VAR
P : LISTE
DEBUT
Si ( L.tête = NULL) alors
Ecrire ("Liste vide " )
Si non
Si (L.tête = L.queue) alors
LIBERER (L.tête) L.tête ? NULL
L.queue ? NULL
Si Non
P ? L.tête
P ? après? avant ? NULL
L.tête ? P ? après
LIBERER (P)
Fin Si
Fin Si
SUPP_TETE ?L
FIN
b) Suppression en queue Fonction SUPP_QUEUE (L : LB) : LB
VAR
P : LISTE
DEBUT
Si ( L.tête = NULL) alors
Ecrire ("Liste vide " ) Si non
Si (L.tête = L.queue) alors
LIBERER (L.tête) L.tête ? NULL
L.queue ? NULL
Si Non
P ? L.queue P ? avant? après ? NULL
L. queue ? P ? avant
LIBERER (P)
Fin Si
Fin Si
SUPP_TETE ? L
FIN
c) Suppression d’un élément donné Fonction SUPP_ELEMENT (L : LB) : LB
VAR P : LISTE x : entier
trouve : booléen
DEBUT
Ecrire ("Donner l’élément à supprimer : " )
Lire (x)
P ? L.tête
trouve ? faux
Tant que ( P ? après ? NULL et trouve = faux) faire Si ((P? num) = x) alors trouve ? vrai sinon
P ? P ? après
Fin Si
Fin Tant que
Si ( trouve = vrai ) alors
(P ? avant) ? après ? P ? après (P ? après) ? avant ? P ? avant LIBERER (P)
Si Non
Ecrire ("élément inexistant " )
Fin Si
SUPP_ELEMENT ? LR
FIN
Chapitre 11 : Les Arbres
Introduction
Il est souvent nécessaire d'ordonner les éléments d'un ensemble dans le but d’améliorer la rapidité d'une recherche. Or le maintien d'un ordre entre les éléments d'un tableau ou d'une liste est relativement coûteux. Pour un tableau par exemple l'insertion d'un élément nécessite de déterminer sa place, en parcourant le tableau depuis le début (k comparaisons) puis de décaler les (n-k) éléments successeurs pour ménager une place. Donc une complexité en O(n) avec n le nombre d'éléments du tableau.
Les arbres de recherche sont des structures de données qui permettent de réduire la complexité en temps mais pas la complexité de la programmation.
Exemples d’organisation :
- Organisation des fichiers dans les systèmes d’exploitation
- Organisation d’un fichier sous forme de table de matière
- Organisation d’un fichier sous forme d’un questionnaire
- Arbre généalogique
L'intérêt de cette organisation est de laisser à l'utilisateur le soin de regrouper les fichiers à sa convenance tout en maintenant une structure hiérarchique.
I- Les arbres généraux
1.Définitions
Arbre : un arbre est une structure de données composée d’un ensemble de nœuds. Chaque nœud contient une information et des pointeurs vers d’autres nœuds (d’autres sous-arbres).
Exemple : arbre généalogique
Niveau
1
2
3
Remarques:
? La structure vide est un arbre
? Chaque nœud possède un certain nombre de fils
? Chaque fils a un père unique
Définitions :
• Racine : Il existe un unique nœud de niveau 1 autre qui n’est pointé par aucun autre nœud : c’est la racine de l’arbre. Le nœud Ali est la racine de l’arbre généalogique de l’exemple précédant.
• Feuilles : Ce sont des nœuds qui ne possèdent aucun fils (nœuds sans sous arbres).
• Niveau : Le niveau de la racine est égal à 1. Le niveau d’un nœud autre que la racine est égal au niveau de son père + 1.
• Taille : On appelle taille d’un arbre le nombre total de nœuds de cet arbre. La taille de l’arbre généalogique de l’exemple est égale à 6.
• Hauteur /Profondeurd’un arbre : C’est le niveau maximum atteint par la branche la plus longue ; sur l’exemple précédant, la hauteur est égale à 3. La hauteur de l’arbre vide est égale à 0.
• Arbre binaire : C’est un arbre tel que chaque nœud a au plus 2 fils : un fils droit et un fils gauche.
• Degré d’un nœud : On appelle degré d’un nœud le nombre de fils de ce nœud. Le degré d’un nœud d’un arbre binaire est égal à 0,1 ou 2.
• Degré d’un arbre : C’est le degré maximal atteint par un nœud. Le degré d’un arbre binaire est égal à 2. Si le degré d’un arbre est égal à N, l’arbre est dit N?aire.
• Arbre binaire complet : C’est un arbre binaire de taille égale à 2h ?1, tel que h est la hauteur de
l’arbre. Voici un exemple :
h = 3
Taille = 23?1= 7 noeuds
• Arbre binaire équilibré : Un arbre binaire est équilibré si pour chaque nœud, les hauteurs des sous arbres gauche et droit diffèrent d’au plus de 1. L’arbre ci?dessous est équilibré.
2.Exemples d’application
?Expression arithmétique
On peut utiliser un arbre pour représenter une expression arithmétique ayant des opérateurs binaires :
(14 + (8/2)) × (5 - 3)
L’arbre binaire correspondant est :
Arbre généalogique
Structure d’un chapitre (sections, paragraphes) Tous les problèmes de classification
II- Les arbres binaires
Un arbre binaire est un arbre tel que chaque nœud a au plus 2 fils: un fils droit et unfils gauche.
Il s’agit de mémoriser les arbres et leurs relations de dépendances père fils. La mémorisation se fait par allocation dynamique.
1. Déclaration
Nœud = enregistrement Op : caractère gauche : pointeur sur noeud
droite : pointeur sur noeud
Fin enregistrement
Arbre = pointeur sur nœud
2. Fonction de création d’un nœud
fonction CreerNoeud(operateur : caractère, SAG: arbre, SAD: arbre) : arbre var nouv : arbre; debut
nouv ? Allouer(taille(nœud)) nouv?gauche ? SAG nouv?droite ? SAD
CreerNoeud ? nouv
Fin
3. Fonction de création d’une feuille
Fonction CreerFeuille(operand: caractère) : arbre Debut
CreerFeuille ? Créer(operande, NULL, NULL)
fin
? Exemple : Création de l’arbre binaire représentant l’expression arithmique
Fonction CreerArbre():arbre
Debut
creerArbre ? CreerNoeud("×", CreerNoeud("+", CreerFeuille(14), CreerNoeud("/",
CreerFeuille(8), CreerFeuille(2))), CreeNoeud("-",
CreerFeuille(5),CreerFeuille(3))) ; fin
4. Parcours d’un arbre binaire
Un algorithme de parcours d’un arbre est un procédé permettant d’accéder à chaque nœud de l’arbre. Un certain traitement est effectué pour chaque nœud (test, écriture , comptage, etc.), mais le parcours est indépendant de cette action. On distingue deux catégories de parcours :
? En profondeur : On explore branche par branche
? En Largeur : On explore niveau par niveau
4.1 Les différentes méthodes de parcours en profondeur d’un arbre
Dans un parcours en profondeur, le principe est le suivant : on explore une branche le plus profondément possible, ensuite on revient en arrière pour essayer un autre chemin. Il y’a six types de parcours possibles. Soit les notations suivantes :
P : Père
SAG : Sous arbre gauche
SAD : Sous arbre droit
Nous ne considérons dans ce cours que le parcours droite-gauche. Les autres parcours s’en déduisent facilement par symétrie.
| Gauche?Droite | Droite?Gauche | |
| Préfixé | ||
| Infixé | ||
| Postfixé | .P | .P |
P
SAG SAD
Fig 1. Les six types de parcours d’un arbre binaire
? Le Parcours Préfixé
La racine est traitée en premier
1 Traiter la racine
2 Parcours préfixé du SAG
3 Parcours préfixé du SAD
• Exemple : expression arithmétique
L’affichage correspondant à un parcours préfixé :
×, +, 14, /, 8, 2, -, 5, 3 ? L’opérateur ici est traité avant les opérandes.
Procédure Prefixe(racine : arbre) debut
si( racine # NULL) alors
Ecrire(racine?op)
Prefixe(racine?gauche) Prefixe(racine?droite)
finsi
fin
• Exécution
Prefixe(×) printf(×)
Prefixe(+) printf(+)
Prefixe(14) printf(14)
Prefixe(NULL)
Prefixe(NULL)
Prefixe(/) printf(/) Prefixe(8)
printf(8) Prefixe(NULL)
Prefixe(NULL)
Prefixe(2) printf(2)
Prefixe(NULL)
Prefixe(NULL)
Prefixe(-)
printf(-)
Prefixe(5) printf(5)
Prefixe(NULL)
Prefixe(NULL)
Prefixe(3)
printf(3)
Prefixe(NULL)
Prefixe(NULL)
? Le Parcours Infixé
La racine est traitée entre les deux appels récursifs
1 Parcours Infixé du SAG
2 Traiter la racine
3 Parcours Infixé du SAD
• Exemple : expression arithmétique
L’affichage correspondant à un parcours infixé de l’arbre donné précédemment:
14, +, 8, /, 2, ×, 5, -, 3
• Algorithme
Procédure Infixe(racine : arbre) debut
si( racine # NULL) alors Infixe(racine?gauche)
Ecrire(racine?op) Infixe(racine?droite) finsi
fin
? Le Parcours Postfixé
La racine est traitée après les deux appels récursifs
1 Parcours Infixé du SAG
2 Parcours Infixé du SAD
3 Traiter la racine
• Exemple : expression arithmétique
L’affichage correspondant à un parcours postfixé de l’arbre donné précédemment:
14, 8, 2, /, +, 5, 3, -, ×
• Algorithme
Procédure Postfixe(racine : arbre) debut
si( racine # NULL) alors
Postfixe(racine?gauche)
Postfixe(racine?droite)
Ecrire(racine?op) finsi
fin
4.2 Le parcours en largeur d’un arbre
Cette méthode consiste à visiter l’arbre étage par étage. Pour notre exemple d’expression arithmétique le parcours donne l’affichage suivant :
×, +, -, 14, /, 5, 3, 8, 2,
Ce parcours nécessite l’utilisation d’une file d’attente qui contient initialement la racine. A chaque étape on extrait l’élément en tête de file et on le remplace par ses successeurs droit et gauche en queue de la file. On effectue ce traitement jusqu’à ce que la file soit vide.
Remarque : Par nature même de la structure arborescente, on utilise plutôt le parcours en profondeur.
Dès fois, le type de résultat nécessite un parcours en largeur, par exemple pour dessiner un arbre. La file d’attente utilisée est une liste chaînée (linéaire) dont les éléments sont des pointeurs sur un nœud de l’arbre.
Type
Cellule = enregistrement
{
Elt : arbre
Suiv : pointeur sur cellule;
}
File : pointeur sur cellule
Le parcours en largeur s’écrit alors :
Procédure EnLargeur(racine : arbre, F : file)
Var tmp : arbre Debut
si(racine # NULL)
Enfiler(F,racine)
Tant que (FileVide(F))= faux) faire
Defiler(F, temp) ; Ecrire(tmp?op) si(tmp?gauche #NULL)
Enfiler(F,tmp?gauche) Finsi
si(tmp?droite #NULL) ;
Enfiler(F,tmp?droite)
Finsi
Fin Tantque
Fin
5. Primitives d’un arbre binaire
5.1 Test d’un arbre vide
La fonction ArbreVide retourne 1 si l’arbre est vide (de taille =0), 0 sinon
Fonction ArbreVide(racine : arbre) : entier
{
ArbreVide ? racine==NULL ;
}
5.2 Calcul de la taille d’un arbre
La fonction TailleArbre parcourt récursivement l’arbre et retourne sa taille ; c'est-à-dire le nombre de ses nœuds.
Fonction TailleArbre(racine : arbre) : entier
Debut
Si ArbreVide(racine) = 1 alors
TailleArbre ? 0 ; sinon
TailleArbre ? 1 + TailleArbre(racine?droite)
+ TailleArbre(racine?gauche)
Finsi
Fin
5.3 Recherche d’un nœud de valeur donnée
La fonction Recherche recherche récursivement un nœud de valeur donnée en commençant par la racine. La fonction retourne un pointeur sur le nœud si la valeur recherchée existe, sinon elle retourne NULL.
Fonction Recherche(racine : arbre, val : caractère) : arbre
Var
ptr_trouv : arbre Debut si (racine=NULL) ptr_trouv?NULL
sinon si (racine?op=val)
ptr_trouv ? racine
sinon
ptr_trouv?Rechercher(racine?gauche,val) ; si(Non(ptr_trouv)) alors
ptr_trouv?Rechercher(racine?droite,val) ;
finsi finsi
Recherche ?ptr_trouve
Fin
